Algebra va sonlar nazariyasi

3 1 1 -1


= -4.


Demak, biriktirilgan matritsa
(-12 3 ^


A* =


-13 3

2. 
   -3 -4
   

у
( 1 -2 -3 ^


bo‘lib, teskari matritsa esa A ¹ =


1 -3 -3 -13 4


bo‘ladi.

12. 
    - §. Chiziqli tenglamalar sistemalari va ularni yechish usullari
    

Bizga m ta tenglamadan iborat n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:


ax + ax +... + a x = b,

1. 
   1 1,2 2 1,n n 1⁵
   

aiX + ax +... + a x = b,

1. 
   1 2,2 2 2,n n 2⁵
   

a,x + ax +... + a_mx„ = b .
m,1 1 m,2 2 m,n n m


(13.1)


bu yerda, x, X,.., X noma’lumlar. Tenglamalami birinchi, ikkinchi,
va hokazo m -tenglama deb nomerlab chiqilgan deb hisoblaymiz. a,. .
koeffitsient i -tenglamadagi Xj noma’lumning koeffitsientini, b_t esa i -
tenglamaning ozod hadi.
Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni m ta satr va n ta ustundan iborat matritsa ko‘rinishida yozish mumkin:


A =


, a , a , ... a
у m,1 m,2 m,n J


(13.2)

Ushbu matritsa chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Quyidagi A matritsa esa chiziqli tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasi deyiladi:

Agar (13.1) sistemaning barcha ozod hadlari 0 ga teng bo‘lsa, u holda (13.1) sistema bir jinsli tenglamalar sistemasi deb ataladi.
Agar (13.1) sistemada m = n bo‘lsa, u holda ushbu sistema n- tartibli sistema deyiladi. Yechimga ega bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi.
Masalan, ixtiyoriy bir jinsli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘ladi, chunki barcha noma’lumlami 0 ga teng qilib olinsa, u bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi.
Yagona yechimga ega bo‘lgan sistema aniq sistema, bittadan ortiq yechimga ega bo‘lgan sistema aniqmas sistema deyiladi.

1. 
   sistemani qulaylik uchun qisqacha
   

yig‘indilar ko‘rinishida yozish mumkin.
Berilgan matritsaning satrlarini щ,щ,•••,Ц,, ustunlarini esa Vj,v₂,...,v_n orqali belgilab olamiz.
Kvadrat matritsaning bosh diagonaldan pastda turgan barcha elementlari nollardan iborat bo‘lsa, bunday matritsaga uchburchak ko‘rinishidagi matritsa deyiladi, ya’ni





a , a ,
у m,j m,2





n


Z ад =^{b, (i}=^{J, m)}





a,





2,n


0 0


^a


69

	^au .	.. ^a1,j .	.. a 1,n
d =	^a2,1 .	2^, .^. a	к , a^2 .
	^an,1 ^.	.. a . ^n,j	.. a n,n

10-mavzuda berilgan determinantni satr yoki ustun bo‘yicha yoyish xossalaridan quyidagilarga ega bo‘lamiz:


^d = OijAj + OuAj +... + ^a1,Aj. ⁽¹³.⁴⁾
Bundan tashqari,
^auA,j + ^aiAj +...+^anA,j = ⁰ * * ^j. ⁽¹³.⁵⁾
Ya’ni, determinantning birorta ustunidagi hamma elementlarini boshqa ustunning algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi nolga teng.

Agar d = a Aj + a jAj + •••⁺ a A j yoyilmada j-ustunning elementlarini ixtiyoriy n ta sonlar sistemasi b , b , ••••, b bilan almashtirsak, hosil bo‘ladigan

^b1 ^A1, j + ^bA2, j + ••• ^{+ b}n^An, j ⁽¹³.⁶⁾
ifoda d determinantning j -ustunini shu sonlar bilan almashtirish natijasida hosil bo‘ladigan ushbu


^dj =


^ai,i ••• ^bi ^a2,j ••• ^b2


b.


determinantning j -ustun bo‘yicha yoyilmasi bo‘ladi.
13.1.-teorema. Agar (13.3) sistemaning determinanti d noldan farqli bo‘lsa, u holda bu sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:


d_l d₂ d_n
Y* — y* — y* — ———
^_ 7 ? 2 7 ’ * * *? ^ЛП ~ 7 '
a a a


(13.7)


Isbot. Aytalylik, d Ф 0 bo‘lsin.


ax + ax + •••+a x = b,
j,j j 1,2 2 j,n n J ⁵
aiX + ax + •••+a x = b,
2,J J 2,2 2 2,n n 2⁵


a iX + + ••• + a„„x„ = b„
n,j j n,2 2 n,n n n


sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini A ga, ya’ni a elementning algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytiramiz. Ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini A ga va hokazo, oxirgi tenglamani A_nj ga ko‘paytiramiz. Bu tengliklarning chap va o‘ng tomonlarini alohida-alohida qo‘shib, quyidagi tenglikka kelamiz: