Algebra va sonlar nazariyasi

0	^a1,j+1 ■
■ a, 1,n
^ai-1,1	■ ^ai-1j-1	0	^a-j1 ■	■ ^ai-1,n
0 ■	■ 0	1	0	■ 0
^ai+1,1 ■	■ ^ai+1,j-1	0	^ai+1,j+1 ■	■ ^ai+1,n
^an,1	■ ^an,j-1	0	^anj+l •	an,n

Determinantning 9.6-xossasidan foydalanib, ushbu determinant- dagi 1 sonini chap yuqori burchakka ko‘chiramiz. Buning uchun

1. 
   -satrni ketma-ket o‘zidan oldingi starlar bilan, so‘ngra j -ustinni o‘zidan oldingi ustunlar bilan almashtirish kifoya. Bu almashtirishlar natijasida determinantning qiymati faqat <-1y^-1+j-1 = (-1)^!+j ga o‘zgarishini hisobga olsak,
   

		0	^a1,1		•• ^a1,j-1		^a1,j+1 •
A . = (­^i^J1 ^v	-1У +^j	0	^ai-1,1		•• ^ai-1,j-1		^ai-1,j+1 •
		0	^ai+1,1		•• ^ai+1,j-1		^ai+1,j+1 •
		0	^an,1		•• ^j-1		^anj+1 •
Yuqorida	isbotlangan			i = j =^1		holdan

a,


a


a,.


a.„


foydalansak,


A = (-1)+¹A ekanligini hosil qilamiz.

11. 
    - §. Laplas teoremasi
    

Biz avvalgi mavzuda A ■ algebraik to‘ldiruvchi va n -1-tartibli
Aj minor tushunchalarini kiritgan edik. Ushbu mavzuda ixtiyoriy
k -tartibli minor tushunchasini kiritamiz.
Berilgan n -tartibli determinantning ixtiyoriy k ta satr va k ta
ustunining kesishgan joylaridagi elementlardan hosil qilingan
k -tartibli determinantga k-tart/bl/ m/nor deyiladi. Determinantning
i, i₂,•••, 4 satrlari va j, j,•••, j ustunlari kesishmasidan tuzilgan
minor M^^,_j^J2,'"’^j kabi belgilanadi. Xususan, determinantning
elementlarini ham birinchi tartibli minorlar deb qarash mumkin.
Tanlab olingan k ta satr va k ta ustunlarni o‘chirib tashlash
natijasida hosil bo‘lgan (n - k) -tartibli determinantga, berilgan
l, ^J2, •••, ^Jk


minorning


to‘ld/ruvch/ m/nor/ deyiladi. M;^J1j-


minorning


to‘ldiruvchi minori M%h’i1 kabi belgilanadi.


k -tartibli M^J_j^1,jг,•••’^J minorning algebra/k to‘ld/ruvch/s/ deb


a J 1 •^J 2 ^j • • • ^{j J} k k j k S i v^1
A^ • • ^ = (-Vf^MM_k


'^J1, ^J2 ,•• •, ^Jk
h ••••^,i


(111)


ifodaga aytiladi, bu yerda


1


0


0


0


0


57

		-1	2	4
6 2	— 24 M^1,3,4 — ^2^4, ^M 1,2,3
-3 3		4	-2	3
		-4	0	5

— -86. Berilgan matritsaning bosh diagonalida joylashgan						^a1,1	^a1,2 .	. ^a1,k
		^a1,1	^a1,2	^a1,3
^a1,1 ^a12,						^a2,1	d a^2	•A* d a^2
	,	^a2,1	d a^2	d a^2	, •••,
^a2,1 ^a2,2
		^a3,1	^a3,2	^a3,3		^ak Л	a^k	a^k

minorlar matritsaning bosh minorlari deb ataladi.
Minor, hamda unga mos keluvchi to‘ldiruvchi minor va algebraik to‘ldiruvchilarni qulaylik uchun M, M va A lar bilan belgilab olamiz.

1. 
   lemma. M • A ko‘paytmaning hadlari | A | determinantning hadlari bo‘lib, ular bir hil ishorali bo‘ladi.
   

Isbot. Lemma isbotini dastlab, berilgan M minor k -tartibli bosh minor bo‘lgan hol uchun ko‘rsatamiz:
m^A — m • (-xf* • M — (-1/- • m • M.
U holda
S_M — (1 + 2 + ••• + k) + (1 + 2 + ••• + k) — 2(1 + 2 +... + k) juft son bo‘ladi. Demak,
m^A — m • M.


a


1.1

	(1	2 •	• k ^		' j+1	k + 2 •	• n ^л
a =				, P =	K^pk+1	^Pk+2 •	• ^pn у
		a •	• U у

va sgn(a) = (-1)*"“, sgn(P) = (-1)^invp. Ushbu hadlarning ko‘paytmasi


^sg^n(a) • ^Sg^n(P) • ^a1,o • ^a2,o


a,.


k+1,Pk₊1 • ^ak+2,Pk₊2


•••••a


^n,Pn


bo‘lib, bu ko‘paytma determinantning turli satr va ustunlaridan bittadan olingan n ta elementlarning ko‘paytmasidan iborat, ya’ni n - tartibli determinantning hadi bo‘ladi. Endi n -tartibli determinantning ushbu hadi ishorasi sgn(a) • sgn(P) ga teng ekanligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham, bu hadning indekslaridan tuzilgan


( 1


\^a1


2
a


k
a,_r


к +1
Pk-


\


Pn


2 ••• Ик+1 ••• rnj
o‘rniga qo‘yishning inva + invp ta inversiyasi bor, chunki hech qaysi a_t hech bir Д bilan inversiya tashkil qilmaydi, ya’ni barcha a sonlari p lardan kichik.
Shunday qilib, biz M minor k -tartibli bosh minor bo‘lgan holda M • A ko‘paytmaning hadlari | A | determinantning hadlari bo‘lishini ko‘rsatdik.
Endi umumiy holni, ya’ni M minor M_]^jl,j2,••^j bo‘lgan holni qaraymiz. Ma’limki, \ ₂ < ••• < 4, j < j₂ <• •• < j deb olish mumkin.
U holda | A | determinantning i, i₂, •••, 4 satrlari va j, j, •••, j ustunlarini mos ravishda o‘zidan oldingi satrlar va ustunlar bilan i -1, i₂ -2, •••, 4 -k va j -1, j - 2, •••, j -k marotaba almashtirsak, hosil bo‘lgan determinantda berilgan M minor bosh minor bo‘ladi.


a


k


a.


k


59

Hosil bo‘lgan | A' | determinant oldingi | A | determinant bilan faqat (-1)^z ishora bilangina farq qiladi, ya’ni

\ A\— (-1)^I^A4,
bu yerda
^{z — (i}1 ^-1) + ⁽ⁱ2 ^-2) +... + ⁽ⁱk^-kk + kk ^-1) + kji ^-2k +... + kjk ^-k ^—

• 
  ⁽ⁱ1 + ^h2 +... + ⁱkk + ik + J2 +... + kkk^- k + ² + k + k^{) —}
  
• 
  $m ^{- 2(1} + ² +... + ^k).
  

Demak,
| a ^ (-1)^Sm-²⁽¹⁺²⁺-^+k"> • | A' ^ (-1)^Sm • | A' I Bu yerdagi | A \ determinantda M minor bosh minor bo‘lganligi
uchun M • M ko‘paytmasining hadlari \ A \ determinantning hadlari bo‘lishi kelib chiqadi. M^A — (-V)^SmM• M ekanligidan M^A ko‘paytmaning hadlari \ A \ determinantning hadlari bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi biz determinantni bir nechta satri yoki ustuni bo‘yicha yoyish haqidagi Laplas teoremani keltiramiz.

2. 
   teorema. (Laplas teoremasi). Determinantning tanlab olingan k ta (1 < k < n -1) satri bo‘yicha barcha k -tartibli minorlarining o‘z algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi determinantning qiymatiga teng.
   

Isbot. Teoremaning shartiga asosan biz
\ A \— MA + M₂A +... + MA_Z (11.2)
yoyilmaning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatishimiz kerak. Bu yerda M_t lar tanlab olingan h, ^,.... 4 satrlar bo‘yicha olingan barcha minorlar va A lar minorlarga mos keluvchi algebraik to‘ldiruvchilardir.
Yuqoridagi lemmaga asosan M_tA, i — 1, z ko‘paytmalarning xar bir hadi determinantning hadi bo‘lib, ular bir hil ishorali bo‘ladi. Aytaylik,
a •a^ •...• a