Algebra va sonlar nazariyasi

a'_i2
Endi ikkinchi satrni — ga ko‘paytirib, qolgan satrlarga


qo‘shish orqali berilgan matritsani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz


a


2,2

^a1,1	^a1,2	^a1,3 •	• a 'I 1,n
0	^a2^2,2	^a2,3 •	• ^a2,n
0	0	a 2,3 •	• a3,n
0	0	<3 •	• a" m,n J

Ushbu jarayonni chekli marotaba davom ettirish natijasida, matritsaning ma’lum satrlaridan tashqari qolgan satrlari nolga aylantiriladi. Natijada matritsa trapetsiyasimon shaklga ega bo‘ladi.

15. 
    - §. Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kapelli teoremasi
    

Ushbu mavzuda chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topish usulini beramiz. Dastlab, bir jinsli tenglamalar sistemasini qaraymiz.
Bizga
a x + a 2^x2⁺ •••⁺a ⁼ 0, ax + axi+ •••+^ain^xn= o,


^am,1^X1 + ^am,2 ^X2 + ••• + ^am,n^xn = ⁰
bir jinsli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, ushbu sistemaning matritsasini A va matritsaning ustunlarini v₁, v₂,•••, v_n deb olsak, sistemani
XV + X_nV_n + ••• + xv = 0
11 2 2 n n
yoki
A • X = 0
ko‘rinishlarda ham yozish mumkin, bu yerda X -noma’lumlardan iborat bo‘lgan ustun vektor.

1. 
   tasdiq. Agar Z_x,Z₂,•••,Z ustunlar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lsa, u holda ularning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo‘ladi.
   

Isbot. Haqiqatdan ham, A • Z_t = 0 ekanligidan
^A • ^(C1^Z1 + ^C2^Z2 + ••• + ^Ck^Zk) = ^C1^A • ^Z1 + ^C2^A • ^Z2 + ••• + ^Ck^A • ^Zk = ⁰ kelib chiqadi. □


91

^br+1,1		^br+2,1		^bn,1
^br+1,r		^br+2,r		^bn ,r
-1	, Z r+2 =	0	, •••’ Z = > n	0
0		-1		0
0		0		-1

^r+1 =


Bu yechimlar chiziqli erkli ekanligi osongina kelib chiqadi, chunki bu ustunlarning oxirgi n - r ta komponentalaridan tuzilgan minorni qarasak, ushbu minor noldan farqli bo‘ladi.
Endi ixtiyoriy yechim bu yechimlar orqali chiziqli ifodalanilishini ko‘rsatamiz. Aytaylik, X = (x,.., x*, x*₊₁,..., x*)^T ustun sistemaning boshqa bir yechimi bo‘lsin. U holda

Y = X + x_r+1 Z_r+X-

-x_ Z_


ustun ham sistemaning yechimi bo‘ladi. Ma’lumki, bu yechimda
(r +1) -komponentadan boshlab barcha komponentalar nolga teng,
ya’ni ^Y = (Уl*^,...^, y*^,0,...^,0)T.
Ushbu ustun sistemaning yechimi bo‘lganligi uchun
У1Ч + У2Ч +... + y*^vr = ⁰.
Ammo, v, V, . ., V ustunlar chiziqli erkli ekanligidan
У* = У* = .. = У* = 0 kelib chiqadi. Demak, Y = 0, ya’ni
x=-x;+1 Zr+1 -... - x'_nz_n.
Shunday qilib, Z , Z , ... , Z chiziqli erkli yechimlar bo‘lib,
barcha yechimlar ularning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.
□
Teorema isbotida keltirilgan Z_r+1, Z_r+2,..., Z_K yechimlar jamlan-
masi bazis yoki fundamental yechim deb ataladi.
Sistemaning umumiy yechimi deb fundamental yechimning
umuniy chiziqli kombinatsiyasiga aytiladi. Ularning biror aniq chiziqli
kombinatsiyasi esa xususiy yechim bo‘ladi.
Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini
ham bir jinsli sistema yechimi orqali berish mumkin. Aytaylik, bir
jinsli bo‘lmagan
^a11^x1 + ^a12 ^x2 + ... + ^a1n^Xn = К
^a21^x1 + ^a22 ^X2 + ... + ^a2n^Xn = ^b2^,
,
a , x + a_mx +... + ax„ = b_m
m1 1 m2 2 mn n m
sistema berilgan bo‘lsin. Bu sistemaning asosiy va kengaytirilgan
matritsalarini qaraymiz, ya’ni
' . a*. ... a b ^
1,2 1,n 1
, a.. ... a. b,
1 2,2 2,и 2


A =


aa
у m,1 m,2


A =


aa
у m,1 m,2


93




Quyidagi teorema bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi mavjudligini uning matritsalari ranglari orqali beruvchi teorema hisoblanadi.

2. 
   teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi) Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lishi uchun uning asosiy matritsasining rangi kengaytirilgan matritsasining rangiga teng (ya’ni, rank(A) = rank(A)) bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Tenglamalar sistemasini quyidagicha yozib olamiz:
^x1^V1 + ^x2^V2 + ... + ^xn^Vn = ^{B ,}
bu yerda B ozod hadlardan tuzilgan ustun.
Sistema yechimga ega bo‘lishi uchun B ustun v, V,..., v„ ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanishi zarur. Bundan esa, matritsalarning ranglari tengligi kelib chiqadi.
Agar matritsalarning ranglari bir hil bo‘lsa, v, V, . ., V dagi bazis v, V,. ., v ,B ustunlar uchun ham bazis bo‘la oladi. Bundan esa
1 “ 2 “ “ n ~
B ustun v, V, . ., v_n ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanishi kelib chiqadi. □

3. 
   teorema. Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi, uning biror xususiy yechimi va xuddi shu koeffitsientlardan tuzilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi yig‘indisiga teng.
   

Isbot. Aytaylik, X₀ ustun A ■ X = B bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining biror yechimi bo‘lsin. U holda A ■ X = B va A ■ X₀ = B ekanligidan, A ■ X = A ■ X₀ sistemaga ega bo‘lamiz.
Demak, berilgan sistema A ■ (X - X₀) = 0 bir jinsli sistemaga teng kuchli. Bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi X* = X -X₀ ekanligidan X = X* + X₀ kelib chiqadi. Ya’ni berilgan tenglamaning umumiy yechimi biror xususiy yechim va bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi yig‘indilaridan iborat.




IV BOB. KO‘PHADLAR 16 - §. Ko‘phadlar va ular ustida amallar
Biz ushbu mavzuda IK orqali haqiqiy sonlar to‘plami Ш yoki kompleks sonlar to ‘plami С ni belgilaymiz.

1. 
   ta’rif. Ixtiyoriy « eE. i e {0}UN uchun
   

f (x) = a₀ + ax + ^x² +... + a_nxⁿ (16.1)
ifoda haqiqiy (kompleks) koeffitsientli ko‘phad deyiladi.

1. 
   ifodadagi x noma’lum o‘zgaruvchi, a. e IK lar
   

ko‘phadning koeffitsientlari, a_ixⁱ lar esa ko‘phadning hadlari deyiladi.
Agar a ^ 0 bo‘lsa, a„ ga bosh koeffitsient a_nxⁿ esa bosh had deyiladi, ko‘phadning a₀ hadiga ozod had deyiladi.
Ko‘phadda qatnashgan noma’lumning eng katta darajasiga ko‘phadning darajasi deyiladi va deg f (x) kabi belgilanadi, ya’ni a ^ 0 bo‘lsa deg f (x) = n.
Barcha koeffitsientlari nolga teng bo‘lgan ko‘phad nol ko‘phad deyiladi. Bir hil darajalari oldidagi koeffitsientlari teng bo‘lgan ko‘phadlar o‘zaro teng ко ‘phadlar deyiladi.
К da berilgan barcha ко‘phadlar to‘plamini K[x] orqali belgilaymiz. Shuningdek, f(a) bilan f(x) ko‘phadning x = a nuqtadagi qiymati belgilanadi.
Endi Щх] to‘plamda algebraik amallami aniqlaymiz. Ko‘phadlarni qo‘shish. f (x) va g (x) ko‘phadlarning yig‘indisi deb, ularning mos darajalari oldidagi koeffitsientlarni qo‘shishdan hosil bo‘lgan ko‘phadga aytiladi, ya’ni
n
f (x) + g (x) = Z c,xⁱ, (16.2)
i=1


95

bu yerda c = a + b bo‘lib, a_i va b_i lar mos ravishda f (x) va g(x) ko‘phadlarning koeffitsientlaridir.

Ko‘phadlarni songa ko‘paytirish. f (x) ko‘phadni X soniga ko‘paytmasi deb, berilgan ko‘phadning barcha koeffitsientlarini shu X soniga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan ko‘phadga aytiladi, ya’ni
n
Xf (x) = YjXa.x'.
/=1