Algebra va sonlar nazariyasi

w_n = c 1 u + c +... + c u ,

3. 
   2,1 1 2,2 2 2,m m ’ ,
   

w„ = +... + c„u.
n n,1 1 n,2 2 n,m m
Agar Ci,i = c2,i=^=cn,i = 0 bo‘lsa, tasdiq o‘rinli, chunki bu holda W, w₂,..., w satrlar m-1 ta u₂,..., ^ satrlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi.


83

Aytaylik, biror c_n noldan farqli bo‘lsin. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda, c_n ^ 0 deb olish mumkin. U holda qiyudagi satrlarni qaraymiz:

c
^W2 = ^W2 ^21W1 = ^c2,2^U2 + ... + ^c2,m^Um^,


(14.2)
c„


^w'„ = —— w, = c' ₉U₉ +... + c'u_m
n n 1 n,2 2 n,m m


Ushbu satrlar n-1 ta bo‘lib, ular m-1 ta u₂,..., u_m satrlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat. n > m bo‘lganligi sababli, n-1 > m-1, hamda induksiya faraziga ko‘ra, w',..., w'_n satrlar chiziqli bog‘liq. Demak, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan b₂,..., b_t koeffitsientlar topilib,
bW +... + b w' = 0.

2. 
   2 n n
   

Bu munosabatga w',..., w'_n satrlarning w₁, w₂,..., w_n satrlar orqali yozilgan ifodasini olib borib qo‘ysak,


b.


^c 2,1
w₂ ¹ wj


C,


+... + ^bk


V -1.1 У


^wk^{- cnL w}1 a


= 0


kelib chiqadi, ya’ni,


b,c,i +... + bc,
^{, 1 w}1 + ^b2^w2 + ... + ^bn^wn = ⁰.
^c11
к, . ., b_k koeffitsientning kamida bittasi noldan farqli ekanligidan, w₁, w₂,..., w_n satrlarning chiziqli bog‘liqligi kelib chiqadi. □

5. 
   natija. Uzunligi n ga teng bo‘lgan n tadan ko‘p satrlar chiziqli bog‘liq.
   

Isbot. Haqiqatdan ham, uzunligi n ga teng bo‘lgan ixtiyoriy (a, a,.., a ) satrni quyidagicha ifodalash mumkin
Й1(1,0,...,0) + a₂(0,1,...,0) +... + a_n (0,0,...,1).


^c1.1

Demak, ixtiyoriy satr n ta satming chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi. Yuqorida isbotlangan 14.4-tasdiqqa ko‘ra, satrlar soni n

Bizga uzunliklari n ga teng bo‘lgan satrlar berilgan bo‘lsin. Bu


ko‘p satrlar chiqizli bo‘gliq bo‘lsin. Ya’ni, chiziqli erkli satrlarning maksimal soni к ga teng bo‘lsin.

6. 
   ta’rif. Berilgan satrlar jamlanmasidagi chiziqli ekrli vektorlarning maksimal soniga bu satrlar jamlanmasining rangi deyiladi. Maksimal sondagi chiziqli erkli satrlar esa, satrlar jamlanmasining bazisi deb ataladi.
   

Tabiiyki, chiziqli erklilik, chiziqli bog‘liqlik, rang va bazis tushunchalarini ustunlar uchun ham kiritish mumkin. U holda yuqorida keltirilgan tasdiqlar ham ustunlar jamlanmasi uchun o‘rinli bo‘ladi.
Demak, berilgan A matritsaning u, u₂,u_m satrlar jamlan­masining rangini va o‘z navbatida v, V, . ., V ustunlar jamlan­masining rangini ham aniqlash mumkin.

7. 
   teorema. Matritsaning satrlari jamlanmasi rangi uning ustunlari jamlanmasi rangiga teng.
   

Isbot. Aytaylik,


matritsaning satrlar jamlanmasi rangi к va ustunlar jamlanmasining rangi r ga teng bo‘lsin.
Satrlar rangi к ekanligidan shunday chiziqli erkli к ta satr mavjud bo‘lib, qolgan satrlar ularning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda, dastlabki к ta satrni bazis deb olish mumkin.
Bu satrlardan iborat quyidagi


tadan ko‘p bo‘lsa, ular chiziqli bog‘liq.


□


satrlar ichida qandaydir к ta satr chiziqli erkli bo‘lib, ixtiyoriy к tadan





a





aa
у m,1 m,2


a


'm,n у


85

А =

v°«


к,2


matritsani qaraymiz. A matritsaning ustunlari A matritsa ustun- larining uzunligi к ga teng bo‘lgan kesmalaridan iborat bo‘ladi.
Aytaylik, A matritsaning ustunlari jamlanmasi rangi r bo‘lsin. A matritsaning ustunlari uzunliklari k ga teng ekanligidan 14.5- natijaga ko‘ra, uning chiziqli erkli ustunlar soni k dan oshmaydi. Demak, r
Ikkinchi tomondan esa, A matritsada r ta chiziqli erkli ustunlari mavjud bo‘lib, undan ko‘p sondagi ixtiyoriy ustunlar chiziqli bog‘liq. Ushbu ustunlami A matritsaning ustunlarigacha to‘ldirsak, ular ham chiziqli erkli bo‘ladi. 14.3-tasdiqqa ko‘ra esa, A matritsaning r tadan ko‘p ixtiyoriy ustunlari chiziqli bog‘liq. Bundan A matritsaning ustunlar jamlanmasi rangi ham r ekanligi kelib chiqadi. Demak, r = r
Endi ushbu mulohazalarni ustunlar va satrlarning o‘rnini almashtirgan holda qo‘llasak, к < r ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa, r = к kelib chiqadi. □

8. 
   ta’rif. Matritsaning satrlari (ustunlari) jamlanmasining rangi matritsaning rangi deyiladi.
   

Endi kvadrat matritsaning rangi va determinanti orasidagi bog‘liqlikni beruvchi teoremani keltiramiz.

9. 
   teorema. Kvadrat matritsaning satrlari chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Zaruriylik. Berilgan


A =


a ,

• 
  n,1
  

^a1,1 ^a1,2 . ^a2,1 ^a2,2 .	К К ^ CJ Q Q		^a1,1 0	,2 ,2	.. a 1,n ^..^a2,n	= ^a1,1	^a2,2 .	. ^a2,n
^an,1 ^an,2 .	.. an,n		..^. 0	^an,2 ^.	.. an,n		^an,2 .	. a с n,n

87


a


1,1


a


1,1

Ushbu determinant nolga tengligi va a 1 ^ 0 ekanligidan

= 0


kelib chiqadi. Induksiya faraziga ko‘ra (a'₂,...,a'_2n),...,(a'_n2,...,a'_nn) satrlar chiziqli bog‘liq. Bu esa, w₂,..., w_n satrlarning ham chiziqli bog‘liqligini bildiradi.
Demak, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan c₂,..., c_n koeffitsientlar topilib, c₂w₂ + c₃w₃ +... + cw_n. Bundan esa,


v ^ai,i


-^c2 + ... -


U + cm. +... + c и = 0

11. 
    2 n n
    

kelib chiqadi. Ya’ni, и, U,..., u_n satrlar chiziqli bog‘liq. □
Yuqoridagi teoremadan n -tartibli kvadrat matritsaning rangi n ga teng bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi.
Ma’lumki, ixtiyoriy noldan farqli matritsadan qandaydir noldan farqli minor tanlab olish mumkin. Quyidagi teorema matritsaning rangini minorlar orqali topish imkonini beradi.

10. 
    teorema. Matritsaning rangi uning noldan farqli minorlarining eng katta tartibiga teng.
    

Isbot. Aytaylik, matritsaning rangi k ga teng bo‘lsin. U holda ixtiyoriy (k +1) yoki undan katta tartibli minorda chiziqli bog‘liq satrlarlar mavjud bo‘lib, 14.9-teoremaga asosan bunday minorlar nolga teng bo‘ladi.
Bundan tashqari, matritsaning rangi k bo‘lganligi uchun unda k ta satrdan va o‘z navbatida k ta ustundan iborat bazislar mavjud. Bu ustun va satrlar elementlaridan tuzilgan minorni qaraylik.
Ushbu minor satrlari chiziqli erkli, aks holda, 14.3-tasdiqqa ko‘ra avvalgi matritsaning butun satrlari chiziqli bog‘liq bo‘lar edi. Demak, tanlab olingan k -tartibli minor noldan farqli. □


a


a

^c1,1	^ci,2	••• ^ci,k	^ci,k+1 •	•• ^c1,n
0	c ^2, ^2	^...^c2,k	^c2,k+1 •	•• ^c2,n
0	0	^...^ck,k	^ck,k+1 •	c ^k,^.. ^n
0	0	• •• 0	0.	• • 0
0	0	• •• 0	0.	• • 0
'2,2	* 0, •••	, ^ck,k ^ ^0

Trapetsiyasimon matritsaning rangi k ga teng ekanligini ko‘rish qiyin emas. Haqiqatdan ham,


0

1. 
   0
   

"2,k


minor noldan farqli. Bundan tashqari, tartibi kdan katta minorlarda kamida bitta nolga teng satr mavjudligi uchun, bu minorlarning qiymati nolga teng.


^c'l,l ^cl,2


c


1,k


89

11. 
    tasdiq. Ixtiyoriy matritsani satrlari ustidagi elementar almashtirishlar bajarish va ustunlar o‘rnini almashtirish orqali trapetsiyasimon matritsa ko‘rinishiga keltirish mumkin.
    

Isbot. Agar matritsa nol matritsa bo‘lmasa, uning noldan farqli elementi mavjud. Bu elementni matritsaning satrlari va ustunlari o‘rnini almashtirish orqali yuqori chap burchagiga ko‘chirish mumkin.
Demak,


A =


matritsada a i ^ 0 deb olish mumkin.
Endi ushbu matritsada qiyudagi almashtirishlarni bajaramiz.
a.j
Birinchi satrni - ga ko‘paytib, i -satrga qo‘shamiz. Bu
^ai,i
almashtirishlardan keyin A matritsa quyidagi ko‘rinishga keladi


^хл1,1
0


. 0 a'

• 
  m,2
  

Agar


a ₀

• 
  m,2
  

matritsa nolga teng bo‘lsa, jarayon


tugatiladi. Noldan farqli bo‘lgan, holda satrlarini va ustunlarini almashtirish hisobiga a'₂₂ Ф 0 deb olish mumkin.