Algebra va sonlar nazariyasi

Г 1	2	-1	3	5 1		r 1	2	-1	3	5 1		r1	2	-1	3
5 1
2	3	-4	1	2		0	-1	-2	-5	-8		0	-1	-2	-5	-8
1 V	1	-3	-2	3 J		0 ^V	-1	-2	-5	-2 ^J		0 ^V	0	0	0	6 ^J

0 = 6 tenglamaga ega bo‘lgan sistemaga keldik, demak, berilgan sistema yechimga ega emas. Misol 13.2. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: X - X + 3x = 2, X + 2 x + 5x3 = -9, 2x - 5x - 4x = 23. Sistemaning kengaytirilgan matritsasi uchun elementar almashtirishlarni qo‘llab, r 1	-1	3	2 1		r1	-1	3	2 1		r1	-1	3	21
1	2	5	-9		0	3	2	-11		0	3	2	-11
2 ^V	-5	-4	23 ^J		0 ^V	-3	-10	19 ^J		0 ^V	0	-8	8 ^J

sistemaning matritsasini uchburchak shaklga keltiramiz. Demak, bu sistema yagona yechimga ega va quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo‘ladi:


X - X + 3x = 2, 3x₂ + 2 x = -11, -8x₃ = 8.


Bu sistemada pastdan yuqoriga qarab harakat qilib, X = -1, X = -3, X = 2 yagona yechimni topamiz.


77

Г 1	—2		3		—4	—2 'l			Г1	—2		3	—4		—2 ^л
2	—4		1		3	2			0	0		—5	11		6
—1 ^V	2		2		—7	^—^4 У			0 ^V	0		5	11		^—^6 У
		r 1		—2				3			—4			—2^N
		0		0				—5			11			6
		0 V		0				0			0			0 ^У

Sistemaning matritsasi zinapoyasimon shaklga kelganligi uchun birgalikda va cheksiz ko‘p yechimga ega. x₁ va x₃ noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar uchburchak shaklni berganligi uchun x, x₄ noma’lumlarini o‘ng tomonga o‘tkazib, ozod o‘zgaruvchilar sifatida qabul qilamiz.
Г x + 3x₃ ⁼ —2 + 2 x + 4x,
[ — 5x = 6 — 11x₄.
Bu yerdan x₃ = -—¹~~^± hosil bo‘ladi. Bu ifodani yuqoridagi
tenglamaga olib borib qo‘ysak,
8 +10 x — 13x₄


hosil bo‘ladi. Shunday qilib,
8 +10 x — 13x —6 + 11x₄
x = ² -, x = ⁴
^ 5 ³ 5
berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining umumiy ko‘rinishi bo‘ladi.


5

		^an,1 ^X1	+^. .^. 2 ..^. X^2 .^. ,2 .^. n^, a^n +	.. + ^an,n	^Xn =	bn
ko‘rinishdagi tenglamalar sistemasini qaraymiz.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
	' ^a1,1	^a1,2	... a ^ 1,n		Г X1 '		Г b ^
A =	^a2,1	^a2,2	... a 2,n	, X =	x	, B =	b2
	v ^an,1	^an,2	... a n,n J		v ^Xn J		v ^bn J

Natijada yuqoridagi tenglamalar sistemasi quyidagi matritsaviy tenglamaga teng kuchli bo‘ladi
A • X = B.
Kramer usulidan ma’lumki, agar det(A) Ф 0 bo‘lsa, sistema yagona yechimga ega. Bundan tashqari, det(A) ^ 0 ekanligi A matritsaning teskarilanuvchi bo‘lishini bildiradi. Yuqoridagi matritsaviy tenglamaning ikkala tomonini chapdan A^_1 ga ko‘paytirsak,
A"¹ • A • X = A"¹ • B ^ E • X = A-¹ • B ^ X = A⁴ • B ekanligi kelib chiqadi.
Demak, tenglamalar sistemasining yechimi X = A^_1 • B ko‘rinishida bo‘ladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ushbu usuli teskari matritsa usuli deb ataladi.
79

14 - §. Matritsaning rangi

Bizga


a , a , ... a
\ m,1 m,2 m,n J
matritsa berilgan bo‘lsin. Bu matritsaning satrlarini щ, щ,..., Ц, kabi ustunlarini esa v, V,..., V kabi belgilaymiz. Satrlarning chiziqli kombinatsiyasi deb, сщ₁ + +... + satrga aytiladi, bu yerda c koeffitsientlar berilgan maydondan olingan sonlar. Ko‘rinib turibdiki, agar bu koeffitsientlar nolga teng bo‘lsa, bu chiziqli kombinatsiya ham nol satrga teng bo‘ladi.
Agar bir vaqtning o‘zida nolga teng bo‘lmagan с, С,..., c_m koeffitsientlar mavjud bo‘lib, сщ₁ + c₂u₂ +... + c_mu_m = 0 bo‘lsa, щ, щ,..., ^ satrlar chiziqli bog‘liq deyiladi.
Agarda bunday koeffitsientlar mavjud bo‘lmasa, ya’ni Cu + c₂u₂ +... + c_mu_m = 0 tenglikdan barcha с, С,..., c_m koeffitsient- larning nolga tengligi kelib chiqsa, u holda щ, щ,..., satrlar chiziqli erkli deyiladi.
Misol 14.1. щ = (1,1,1), щ = (-1, 2,1), щ = (1, 4, 3) satrlar chiziqli bog‘liq. Chunki, 2щ + щ - щ = (0, 0, 0).
щ = (1,1,1) va щ = (-1, 2,1) satrlar esa chiziqli erkli, chunki = 0 tenglikdan
c - c₂ = 0, <{c + 2c = 0, c + с = 0
shartlar kelib chiqadi, ya’ni c = c₂ = 0.

1. 
   tasdiq. Berilgan satrlarning chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun bitta satrning qolgan satrlar orqali ifodalanishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Zaruriyligi. и_г, u₂,..., u_m satrlar chiziqli bog‘liq bo‘lsin. Demak, bir vaqtning o‘zida nolga teng bo‘lmaydigan shunday С, c₂, .., c_m koeffitsientlar mavjudki, c_xu_x + c₂u₂ +... + c_mu_m = 0 bo‘la- di. Aytaylik, c ^ 0 bo‘lsin. U holda

c c, c., c
u = —¹ u -... ——u. i ——u,.₊₁ -... —^—u_m,
г 1 г-1 г+1 —⁵
c c c c
ya’ni u satr qolgan satrlar orqali chiziqli ifodalanadi.
Yetarliligi. Aytaylik, u = c_xu_x +... + +... + c_mu_m
^bo‘^lsin. ^{U holda c}!^u! +... + ^c_i_u_i_1 + ^(-1)u,. + ^c_i+1^u_i+1 +... + ^c—^u— = ^0, ya’ni u, u, .., u_m satrlar chiziqli bog‘liq. □
Berilgan и = (a_l,a₂,...,a_k,...,a_n) satmi dastlabki к ta elementidan iborat и = (a_l,a₂,...,a_k) satrga berilgan satming uzunligi k bo‘lgan kesmasi deb ataladi.

2.