tasdiq. Agar ux, u2,..., um satrlar chiziqli bog‘liq bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uzunlikdagi й1,й2,...,йт kesmalar ham chiziqli bo‘g‘liqdir.
Isbot. cu + cMr. +... + cu = 0 tenglik cu + cu, +... + cu
1122 mm о 1122 mm
satming barcha komponentalari nolga tengligini anglatadi. Bundan esa, CjMj +с2й2 + ... + стйт = 0 ekanligi kelib chiqadi. □
Yuqoridagi tasdiq kabi йх, й2,..., йт kesmalaming chiziqli erkli ekanligidan u, u2,..., um satralarning ham chiziqli erkli bo‘lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, A matritsaning k ta satri chiziqli erkli bo‘lib, qolgan satrlar ularning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lsin. Umumiy- likka ziyon yetkazmagan holda, u , u , ... , u satrlar chiziqli erkli va u+i, u+2, .., um satrlar ularning chiziqli kombinatsiyasidan iborat deb olish mumkin. Matritsaning vl,v2,...,vn ustunlarining uzunligi к bo‘lgan Vj, v2,..., vn kesmalarini qaraymiz.
81
tasdiq. Agar qandaydir cl,c2,...,cn sonlari uchun ci+cl+... + cv =0 bo‘lsa, u holda c,v,+c-v-+... + C v = 0
11 n n ~ 11 11 n n
bo‘ladi.
Isbot. щ+1, щк+2,..., щ, satrlar щ, щ,..., щ satrlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lganligi uchun
щк+1 = bk+1Дщ1 + ^+1,2^ + ... + bk+h^k ,
щк +2 = Ьк +2Дщ1 + bk+2^2 + ... + Ьк+2,кщк , ^ ^
щ = b щ + b щ +... + b m, .
m m,1 1 m,2 2 т,к к
Aytaylik, clvl+c2v2+... + cnvn=0 bo‘lsin. Bu tenglikdan cv + c^2 +... + cvn ustunning dastlabki к ta komponentasi nolga teng ekanligi to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi. Ustunning (к +1) - komponentasini qaraylik:
Clak+1Д + C2ak+1,2 + ... + Cnak+1,n.
Bu ifodani qiymatini topish uchun (14.1) tenglikning birinchisidan foydalanamiz.
щк+1 = bk+1ДU1 + bk+1,2U2 + ... + Va ekanligidan ak+1,1 = bk+1,1a1,1 + bk+1,2a2,1 + ... + bk+1,k ak ,1, ak+1,2 = bk+1,1a1,2 + bk+1,2a2,2 + ... + bk+1,k ak,2,
a,^ = b^,,a + b,^~a~ +... + b,^,a,
k+1,n к+1,1 1,n k+1,2 2,n k+1,k к ,n
kelib chiqadi. Bundan esa,
c1ak+1,1 + c2ak+1,2 + ... + cnak+1,n =
_ c1 (bk+1,1a1,1 + bk+1,2a2,1 + ... + bk+1,kak,1 ) + +c2 (bk+1,1a1,2 + bk+1,2a2,2 + ... + bk+1,kak,2 ) +
+ +
+cn (bk+1,1a1,n + bk+1,2a2,n + ... + bk+1,kak,n ) =
= bk+1,1(c1a1,1 + c2a1,2 + ... + cna1,n ) +
+bk+1,2 (c1a2,1 + c2a2,2 + ... + cna2,n ) +
+ +
+bk+lx(Ciak,l+C2ak,2+- + Cnak,„)-
Qavslar ichidagi ifodalar c,v, +c2v2 +... + c.v. ustunning kompo- nentalarini beradi. Ularning barchasi nolga teng bo‘lganligi uchun cflk+i i + c2ak+x 2 +... + cnak+\ n = 0 ekanligi kelib chiqadi. Qolgan komponentalarining nolga tengligi ham xuddi shunday ko‘rsatiladi. Demak, av + cnvn +... + cv = 0. □
’11 2 2 n n
tasdiq. Aytaylik, u, Щ, .., um va w1, w2,..., wK satrlar jamlanmalari berilgan bo‘lib, ikkinchi jamlanma satrlari birinchi jamlanma satrlarining chiziqli kombinatsiyasi bo‘lsin. Agar n > m bo‘lsa, u holda w, W, .., W satrlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
Isbot. Isbotni m ga nisbatan matematik induksiya usuli bilan olib boramiz. m = 1 bo‘lganda w1 = cxux, w2 = c2ux,..., wn = cnux bo‘lib, c = 0 bo‘lganida ular chiziqli bo‘g‘liq bo‘lishi ravshan. Agar c1 Ф 0 bo‘lsa, (-c )w + cxw2 + 0 • W +... + 0 • wn = 0 ekanligidan ularning chiziqli bog‘liqligi kelib chiqadi.
Tasdiqni m -1 uchun o‘rinli deb, m uchun to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatamiz. Tasdiq shartiga ko‘ra,
w = c 1 u + c ‘->u~ +... + c u ,
1,1 1 1,2 2 1,m m’
Do'stlaringiz bilan baham: |