Algebra va sonlar nazariyasi

г„ (x) = r?—2 (x) • Ml (x) + г„_1 (x) • - (x) tenglikni hosil qilamiz.
Bu yerga r„_j( x) ning r„_ ₃( x) va r„_ ₂( x) orqali ifodasini Yevklid algoritmidagi tenglikdan foydalanib soddalashtirsak, г„ (x) = r- (x) • M2 (-- r- (x) • -2 (x) tenglik hosil bo‘ladi, bu yerda
Щ (2) = Vi (x), -2 (x) = Ml (x) - -i (x) • in-i (x).
Yevklid algoritmidagi tengliklar bo‘ylab yuqoriga tomon harakatlanib borsak, (17.2) tenglikka kelamiz.
Endi teoremani ikkinchi shartini isbot qilamiz. Buning uchun teskarisini faraz qilamiz, ya’ni degu(x) > degg(x) deb olamiz. U holda u (x) ni g (x) ga qoldiqli bo‘lib
u(x) = g(x) • q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x) tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglikni (17.2) ga olib borib ihchamlasak
f (x) • r( x) + g (x) • (v(x) + f (x) • q(x)) = г„ (x) (17.3)
hosil bo‘ladi.
Bu tenglikda щ (x) = r(x), deb olsak, deg щ (x) < deg g(x).
Bundan tashqari, — (x) = v(x) + f (x) • q( x) deb belgilasak, deg—(x) < deg f (x) bo‘ladi. Aks holda (17.3) tenglikning chap tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchining darajasi g( x) • f (x) ko‘paytmaning darajasidan katta yoki teng bo‘lib, chap tomondagi yig‘indining darajasi ham g (x) • f (x) ning darajasidan katta yoki teng bo‘ladi. Vaholanki, deg r_n (x) < deg g( x) • f (x). □

2. 
   tenglikdagi ifodaga f (x) va g(x) ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi orqali chiziqli ifodasi deb ataladi.
   

105

Teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.

3. 
   natija. Agar (f (x), g( x)) = 1 bo‘lsa, u holda
   

f (x) ■ u( x) + g( x) ■ v( x) = 1 tenglikni qanoatlantiruvchi u (x), v(x) ko‘phadlar mavjud, bu yerda degu(x) < deg g(x), deg v(x) < deg f (x).
Misol 17.2. f (x) = x³ + x² - x -1 va g(x) = x³ -1 ko‘phadlar uchun u (x) va v( x) ko‘phadlarni aniqlang.
Yuqoridagi 17.1-misoldagi f (x) va g(x) ko‘phadlar uchun tuzilgan Yevklid algoritmidagi tengliklardan
^{x -1} = g^{(x) -} (У ^{- x)(x} +¹⁾ = g^{(x) - (f (x) -} g^(x))(x +¹⁾ =
= g (x) - f (x) + g (x)( x +1) = f (x)(-1) + g( x)(x + 2) hosil bo‘lib, bundan u( x) = -1, v( x) = x + 2 ko‘phadlarni topamiz.
Natijadan foydalanib, o‘zaro tub ko‘phadlar uchun muhim xossalarni olish mumkin.

3. 
   xossa. a) agar (f (x),g(x)) = 1 va (f (x),p(x)) = 1 bo‘lsa, u holda (f (x),p( x) ■ g (x)) = 1 bo‘ladi;
   

2. 
   agar p(x) | (f (x) ■ g(x)) bo‘lib, (f (x),p(x)) = 1 bo‘lsa, u holda p(x) | g(x) bo‘ladi;
   
3. 
   agar p( x)| f (x) va iy( x)| f (x) bo‘lib, (p(x),^(x)) = 1 bo‘lsa, u holda (p(x) ■ iy(x)) | f (x) bo‘ladi.
   

Isbot: a) haqiqatdan ham,
f (x)u( x) + g( x)v(x) = 1 tenglikni p( x) ga ko‘paytirsak,
f (x) ■ (u( x) ■ p( x)) + (g( x) ■ p(x)) ■ v(x) = p( x) hosil bo‘ladi.
Agar h(x) ko‘phad f (x) va g(x) ■p(x) ko‘phadlarning umumiy bo‘luvchisi bo‘lsa, yuqoridagi tenglikdan h(x) | p(x) munosabatni hosil qilamiz. Bu esa h(x) ko‘phad f (x) va p(x) ko‘phadlarning umumiy bo‘luvchilari ekanligini anglatadi. Shartga asosan, h(x) = 1

bo‘ladi, bundan esa f (x) va p(x) ■ g (x) ko‘phadlar o‘zaro tub ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   shartga asosan
   

f (x) ■ u( x) + p(x) ■ v(x) = 1 o‘rinli bo‘ladi. Tenglikning ikkala tomonini g(x) ko‘phadga ko‘paytiramiz.
(f (x) ■ g (x)) ■ u( x) + p( x) ■ (g (x) ■ v(x)) = g (x).
Bu tenglikning chap tomonidagi yig‘indi p(x) ko‘phadga bo‘lingani uchun o‘ng tomonining ham bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, p(x) | g(x).

2. 
   shartga asosan f (x) = p(x) ■p (x), bo‘lib u ^(x) ko‘phadga bo‘linadi, ya’ni ^(x)|(p(x) p( x)), hamda (p(x),^( x)) = 1 bo‘lganligi uchun t^(x)|p(x). Demak, p(x) = ^(x)■p(x) bo‘ladi, bu yerdan
   

f (x) = p(x) ■ p (x) = (p( x) • iy( x)) • p₂ (2) hosil bo‘ladi. Bundan esa
(p(x) ■ W(. x)) | f (x)
ekanligi kelib chiqadi.
Eng katta umumiy bo‘luvchi ta’rifmi ixtiyoriy f (x), f₂(x),..., f_s(x) ko‘phadlar uchun ham berish mumkin, ya’ni agar d(x)| f (x), 1 < i < s bo‘lib, f (x) ko‘phadlarning boshqa ixtiyoriy h(x) umumiy bo‘luvchisi uchun h(x)| d(x) bo‘lsa, d(x) ko‘phad f (x), f₂(x),..., f_s(x) ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchi deyiladi.
Berilgan f (x) ko‘phadlarning EKUBini topish uchun avval (f (x), f₂ (x)) = d₂ (x), so‘ngra (d₂ (x), f₃ (x)) = d₃ (x) va hokazo (d_j (x), f_s (x)) = d_s (x) topiladi. Topilgan d_s (x) ko‘phad f (x) laming EKUBi bo‘ladi.
Xususan, agar d_s(x) = 1 bo‘lsa, u holda f (x) ko‘phadlarga o‘zaro tub ko‘phadlar deyiladi.


107

Agar V/ * j uchun (f (x),f (x)) = l bo‘lsa, f(x),f₂(x),...,f_s (x) ko‘phadlarga juft-jufti bilan o‘zaro tub ko‘phadlar deyiladi.

17. 
    - §. Bezu teoremasi va Gorner sxemasi.
    

Algebraning asosiy teoremasi
Ko‘phadlarning ildizlarini topish juda muhim ahamiyat kasb etadi. Chunki, ko‘plab matematik masalalarni yechish ko‘phadning ildizlarini o‘rganish masalasiga olib kelinadi. Shu sababli biz ko‘phadlarning ildizlarini o‘rganish masalasini keltiramiz.

1. 
   ta’rif. f (x) ko‘phad uchun f (a) = 0 shartni qanoatlantiruvchi a soniga f (x) ko‘phadning ildizi deyiladi.
   

Avvalgi mavzudan ma’lumki, f (x) ko‘phadni x -a ko‘phadga qoldiqli bo‘lish quyidagicha amalga oshiriladi:
f (x) = (x-a) • q(x) + r. (18.1)
Ta’kidlash joizki, x-a ko‘phadning darajasi 1 ga teng bo‘lganligi sababli, qoldiqning darajasi nolga teng bo‘ladi. Shuning uchun qoldiqli bo‘lishdagi qoldiq ko‘phad r(x) o‘rniga r sonini yozish mumkin.

2. 
   teorema (Bezu teoremasi). f (x) ko‘phad x -a ko‘phadga qoldiqsiz bo‘linishi uchun f (a) = 0 bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Zaruriyligi. Agar f(x) ko‘phad x-a ko‘phadga qoldiq­siz bo‘linsa, u holda f (x) = (x - a) • (p(x) o‘rinli bo‘ladi. Demak, f (a) = (a - a) • (p(a) = 0.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, x = a nuqtada f (x) ko‘phad nolga aylansin, ya’ni f(a) = 0 bo‘lsin. U holda f(x) = (x-a)• q(x) + r tenglikdan
r = f (a) - (a - a) • q(a) = 0 ekanligini hosil qilamiz. Demak, f (x) = (x -a) • q( x) tenglik o‘rinlidir. □

^ao	a	a		^an-1	^an
^ao	a + ab0	a + abj		^an-l+^abn-2	an +^ab„_1
^bo	^b1	^b2		^bn-1	r

Misol 18.1. f (x) = 2x⁵ - 3x⁴ + 4x² - 5x + 7 ko‘phadni x - 3 ga bo‘lishdagi q(x) bo‘linmani va r qoldig‘ini Gorner sxemasi yordamida toping.


109

a	a0	ax	a2	as	a4	a5
	2	-3	0	4	-5	7
3	2	3	9	31	88	271
	*0	*1	*2	*3	*4	r

Shunday qilib, bo‘linma q( x) = 2 x⁴ + 3x³ + 9x² + 3ix + 88, qoldiq esa r = f (3) = 271 ga teng bo‘ldi.