Algebra va sonlar nazariyasi

Г1 ^(x) _i ^r2^{( x)} ^ ₊ Vk ^(x)


gl ^(x) g2^{( x)} gk ^(x)
yoyilmasi orqali yagona ravishda ifodalanadi.
Ma’lumki, ixtiyoriy g (x) ko‘phadni keltirilmas ko‘phadlarning
ko‘paytmasi g (x) = p^k (x) • (x) •... • p^k (x) shaklida yagona ravishda
ifodalash mumkin. Bunga asosan, biz yuqoridagi natijani
umumlashtirib,
^{f (x)} f(^x) ^{f (x)} _| ^f2^{( x)} _{] |} ^fs ^(x)
g (x) p^k (x) • p^² (x) •... • p^k;{ x) p,¹ (x) p2^k2( x) p^k;{ x)
yoyilmani hosil qilamiz.
^{f (x)}
p^k (x)
ataladi. Agar primar kasrda degf (x) < degp_t(x) bo‘lsa, bu primar
kasrga sodda kasr deyiladi.

7. 
   teorema. Xar qanday primar to‘g‘ri kasr sodda kasrlarning
   yig‘indisi shaklida ifodalanadi.
   

f (x)
p^k (x)
p( x) ga qoldiqli bo‘lsak, f (x) = p(x) • q (x) + f (x) bo‘ladi. U holda


117


Ushbu yoyilmadagi —¹—- to‘g‘ri kasrlarga primar kasrlar deb


Isbot. Bizga ——- primar kasr berilgan bo‘lsin. f (x) ko‘phadni

f(x) _ f(x) q1(x)

P^k ( x) p^k ( x) p^k-1( x)
Agar deg(q (x)) < deg( p( x)) bo‘lsa teorema isboti kelib chiqadi.
deg(q(x)) > deg(p(x)) bo‘lganda esa, q₁(x) ko‘phadni p(x) ga
qoldiqli bo‘lib, q (x) = p( x) • q₂ (x) + f₂ (x) ekanligidan
f (x) _ f1(x) , f₂(x) q2(x)

• 
  +
  

p^k (x) p^k (x) p^k-1(x) p^k-2(x)
tenglikni hosil qilamiz.
Bu jarayonni chekli marotaba davom ettirsak, berilgan ratsional
kasr sodda kasrlarning yig‘indisi shaklida ifodalanishi kelib chiqadi:
^{f (x)} _ ^{f( x)} , ^f2^(x) , ^fk^(x)
' ... + '


p^k (x) p^k ( x) p^k-1( x) p( x)
Ushbu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.

8. 
   natija. Ixtiyoriy to‘g‘ri ratsional kasrni yagona ravishda
   sodda kasrlarning yig‘indisi shakliga ifodalash mumkin.
   

Kompleks sonlar maydonida ixtiyoriy ko‘phad
g(x) = a_o(x-a₁)^kl(x-a₂)^k2 •...• (x-a_s)^ks
A
ko‘rinishida ifodalanganligi uchun, sodda ratsional kasrlar -r
(x -a)
ko‘rinishida bo‘ladi. To‘g‘ri kasrning sodda ratsional kasrlarga
yoyilmasi esa,
^{f (x) A}1,1 ^A1,2 , ^A1,k


g(x) (x-ai⁴ (x-a)^k11 x-
^A2,1 ^A2,2 , ^A2,k

• 
  +
  

(x-a)*² (x-a)


+


^As,1 , ^As,2 , , ^As,k


(x -a_s )^ks (x -a_s )^{ks -1} x -a_s ko‘rinishida bo‘ladi.
Haqiqiy sonlar maydonida sodda ratsional kasrlarning umumiy
ko‘rinishi —^A—г va —^{Bx + C}—г, p² - 4q < o shaklda bo‘ladi.
(x-a) (x² + px + q))


x -a₂

Misol 19.2. to‘g‘ri kasrni haqiqiy sonlar

(x -1)( x +1)


maydonida sodda kasrlarga yoying.
Ushbu k yoyiladi, ya’ni


Ushbu kasr —^:— va ^Bx +^C sodda kasrlarning yig‘indisiga
x-1 x +1

1. 
   A Bx + C
   

(x -1)( x² +1) x -1 x² + 1 Bu tenglikni ikkala tomonini (x -1)( x² +1) ko‘phadga ko‘paytirsak, 1 = A( x² +1) + (Bx + C)( x -1) tenglik hosil bo‘ladi. Bu
yerdan A = i, B = -i va C = -i ekanligini topish qiyin emas.
Demak,

1. 
   1 x +1
   

(x -1)( x² +1) 2( x -1) 2( x² +1)
20- §. Uchinchi va to‘rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish
Ushbu mavzuda uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechish usullarini keltiramiz. Dastlab, uchunchi darajali tenglamani qaraymiz. Ma’lumki, uchinchi darajali tenglamalarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
a₀x³ + ax² + a₂x + a = 0.
Bu tenglamaning koeffitsiyentlari kompleks sonlardan iborat bo‘lib, tenglamani ham kompleks yechimlarini topish masalasini qaraymiz. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda, a = 1 deb olish a
mumkin. x = y --^ kabi almashtirish bajarib, teglamani quyidagi ko‘rinishga keltirib olamiz:


119




^{y -} n J+ 4^{y -} IT J + ^a= V^{y -} IT J+^a=⁰ •
Ushbu tenglamaning qavslarini ochib, o‘xshash hadlarini ixchamlasak:


y³-


f a^
a —¹

2. 
   3
   

v ^J J
a² a a 2


i aa 2 з , ₃
У + ^{1 a}3 ^--^ + — ^ai | = ⁰.


Endi p = a₂ - -^, q = a₃ —^+ 27^ belgilashlarni kiritsak, berilgan tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:
y³+py+q = o.
Demak, 3-darajali tenglamani yechish masalasi yuqoridagi tenglamani yechishga keltirildi. Ushbu tenglamada y = a + p deb olsak,
a³ + 3a² p + 3ap² + 0³ + p(a + p) + q = 0,
yoki,
a³ + p³ + (3ap + p)(a + p) + q = 0.
Ma’lumki, agar a³ + p³ + q = 0 va 3 afi + p = 0 bo‘lsa, u holda y = a + p soni y³ + py + q = 0 tenglamaning yechimi bo‘ladi. Shunday qilib, biz quyidagi sistemani hosil qildik:
fa³ +p³ = -q,
[3ap = -p,
Ushbu sistemani yechish uchun ikkinchi tenglikni kubga
p3 3
ko‘tarsak, a³ p³ = - —. Bundan esa, a³ va p³ sonlarini quyidagi
kvadrat tenglamaning yechimlari sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi:


z² + qz - — = 0, 27


bu yerdan,

а³ =-¹ + ⁱ- + ^p-, J3³ = -¹ -ⁱ- + ^p- 2 V 4 27 2 V 4 27

va


а =.


I 2 3
-¹ + Jⁱ- + ^p-, / = ■
2 V 4 27


I 2 3
i_ + p_
' 4 27


tengliklarga ega bo‘lamiz. Demak, у uchun quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:

1. 
   + 1 + p. + з _-i_- 1 + p_
   
2. 
   V 4 27 У 2 V 4 27'
   

Ushbu ifodaga Kardano formulasi deyiladi.
Har bir sonning uchta kubik kompleks ildizi mavjudligini hisobga olsak, ikkala ildiz uchun jami to‘qqizta kombinatsiya kelib chiqadi, ya’ni у ning qiymati to‘qqiz hil aniqlanadi. Lekin, ulardan p
faqatgina aj3 = -— shatrni qanoatlantiruvchilarigina tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Aytaylik, a_x va Д - izlanayotgan juftliklardan biri bo‘lsin. Qolgan a ga mos qiymatlar a_xa_x va а_хю₂ bo‘lib, / ga mos qiymatlar

1. 
   43 1 43
   

esa /ю₂ va bo‘ladi. Bu yerda (o₁ = -~ + , ⁽°₂ =^-’
ya’ni 1 ning boshlang‘ich kub ildizlari.
Demak, Kardano formulasi orqali tenglamaning barcha
У =^а1 +Д>
у2 = a^ai +/^2,
Уз = a^₂ + /&1
yechimlarini aniqlash mimkin.
Misol 20.1. у³ + (3 - 3i) у + (-2 + i) = 0 tenglamani yeching. Kardano formulasiga ko‘ra


3


121

^{1^- 2 I+^(1^- * + <	^- 2^-i	(^1^- 2 J+o- o^3
- 2 +f 4 -^3i+	1 -~-J-^5-3i - П 4

- 33 f - i+fH - - - ^1 - ^ ■ P Kub ildizlami chiqarganda ulaming ko‘paytmasi -^ ga ya’ni -1 + i ga teng bo‘lishini hisobga olish lozim. Shuning uchun birinchi ildiz uchun -i qiymatni olganda ikkinchisi uchun -1 -i qiymat olinadi. Demak, berilgan tenglamaning ildizlari: У - -i + (-1 - i) - -1 - 2i, 1 - |_	^{^3+
- + 2	+ 2 V
1 L	^3+
+ 2	2

1


Endi y + py + q - 0 kubik tenglamaning p va q koeffitsiyentlari haqiqiy sonlar bo‘lganda Kardano formulasini qo‘llash qanday natija berishini tahlil qilamiz.
2 3
q P
Kardano formulasidan ko‘rinadiki, 1 ifodaning ishorasi
4 27
tenglamaning yechimlari xarakteriga sezilarli ta’sir qiladi. Uchta holatni alohida ko‘rib chiqamiz.

2. 
   з I 2 3"
   

1. 
   hol. Aytaylik — + — > 0 bo‘lsin. Bu holda -^q + J — + — 4 27 2 V 4 27
   

1. 
   2 3
   

q q p
va — - u Ij^- + 27 sonlarning ikkalasi ham haqiqiy va turli hil bo‘lib, birinchi kub ildizning qiymati a_x haqiqiy qiymat olinganida Д ning

ham haqiqiy qiymati olinadi. Shunday qilib, bu holatda yechimlar quyidagicha bo‘ladi:

У1 =^ai +Д,
„ a + / a - / p:
У2 = ^ai®i + Д®2 = +
_ 1 Д _ ^ai + P\ ^ai ^- P\ ■ fj Уз =^ai®2 + M®1 =2 2 ⁱ³'
q² _p³
Demak, ~^ + ^y> 0 bo‘lganda berilgan kubik tenglama bitta
haqiqiy ildizga va ikkita o‘zaro qo‘shma kompleks ildizlarga ega bo‘ladi.


2 3 12 3

2. 
   hol. — + — = 0 bo‘lsin. Bu holda -¹+ J— + — va 4 27 2 V 4 27
   

J 2 3
-¹ -J — + — ifodalar haqiqiy va o‘zaro teng bo‘lib, a va / kub

2. 
   V 4 27 ¹
   

ildizlar ham haqiqiy va o‘zaro teng bo‘ladi, ya’ni a_x = /. U holda
berilgan kubik tenglama quyidagi ildizlarga ega bo‘ladi
У1 =a + / = 2a\, y₂ = a_xrn_x + = -a, y₃ = = -a.
Demak, bu holda uchchala ildiz ham haqiqiy bo‘lib, bitta ildizi
ikki karrali ildiz bo‘ladi.

2.