Algebra va sonlar nazariyasi

^(ft + \^ei + ••• + 4-i^ek-i, ^et-i^{) — 0}

(fk, ei) + A(ei, ei) = 0;

^(fk , ^e2 ⁾ + ^{A (e}2, ^e2 ⁾ = ⁰;
^(fk, ^ek-l ⁾ + Лт-l ^(ek-l, ^ek-l⁾ = ⁰
Bulardan,
_A _ ⁽fk^{, e}i⁾ _A _ ^(fk^{, e}2⁾ _A _ ^(fk^{, e}k-l⁾
A , A ,..., A_i ,
^(el^{, e}i^{) (e}2^{, e}2^{) (e}k -1^{, e}k-l⁾ qiymatlar kelib chiqadi.
Demak, juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan e, e₂, -., e vektorlarni hosil qilamiz. Endi e vektorni noldan farqli ekaniligini ko‘rsatamiz. Hosil qilingan e_t vektor e, e,-., %_i, / vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat. O‘z navbatida e_tl vektor e, e₂, -., e*_₂ va /_j vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan va hokazo, e₂ vektor e va / vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat. Bundan esa e quyidagi ko‘rinishda yozilishi mumkinligi kelib chiqadi:
^ek = ^fk +^ak-i^fk-i +... + ^ai^fi.

5. 
   f₂,..., f_k vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan esa, e ^ 0
   

ekanligi kelib chiqadi.
Biz e, e, . ., e*₄ hamda f_k vektorlardan e vektorni qurdik. Xuddi shunday qilib, e, e₂,..., e hamda f₊₁ larga ko‘ra e_t+1 ni quramiz. Bu jarayonni berilgan f, f₂,..., f vektorlargacha davom ettiramiz. Natijada noldan faqli va o‘zaro ortogonal bo‘lgan n ta

5. 
   e,. ., e vektorlarni, ya’ni ortogonal bazisni hosil qilamiz.
   

Ortogonal bazislar topishning yuqoridagi teorema isbotida keltirilgan jarayon ortogonallashtirish jarayoni deb ataladi. Bu jarayon ixtiyoriy f, f,..., f_n bazis bo‘yicha e, e, . ., e ortogonal bazis yasash usulini beradi.


157

e

Agar e* vektorlarni e'_k — —^- vektorlar bilan almashtirsak, u
^{1 e}t¹
holda uzunligi 1 ga teng bo‘lgan o‘zaro ortogonal vektorlar hosil bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Bu amal bilan ortonormal bazis hosil qilamiz.
1
Misol 24.2. P(x) fazoda (f(x), s(x)) = jf (x)s(x)dx kabi
0
aniqlangan skalyar ko‘paytmaga nisbatan ortogonal bazis quramiz. Ma’lumki, P₂(x) fazoda f = 1, f = x, f = x² bazis tashkil qiladi. Bu bazisdan ortogonallashtirish jarayoni yordamida e, e, e ortogonal bazis hosil qilamiz:
(f, _e )
e = f = 1 deb olib e₂ = f₂ e_T ekanligidan e₂ vektorni
(e-, e\)
aniqlaymiz.
ill 1
(f, e) = I xdx = —, (e, e) = I dx = l ekanligidan e₂ = x — hosil
^ 2 ^ 2 0 ² 0 ²
bo‘ladi.
Endi e₃ = f - ^{(f3, e2)} e₂ - ^(f3, "^y) e , hamda ^(e2^{, e}2^{) (e}l^{, e}i⁾
1,1 1
^e2⁾ = j ^{x (x -} -^)dx = — ^,
J 2 12

1. 
   ²¹²
   

12


^(e2^,e2⁾ = j^{(x - -)2dx} = I¹
0 ²
(f3, e-) = j x²dx =¹

1. 
   ³
   

1


ekanligidan e₃ = x - x hosil bo‘ladi. Demak, P₂ (x) fazoda
6
ortogonal bazis e = -, ^ = x -¹, e₃ = x² - x +¹ ko‘phadlardan

3. 
   6
   

iborat.

Yevklid fazosida e, e₂,..., e ortonormal bazis berilgan bo‘lsin. Shu bazisdagi koordinatalari bilan berilgan x, y gV vektorlarning skalyar ko‘paytmasi qanday ifodalanishini topaylik.

Aytaylik,
^x = Oi^ei + 4^e2 + ... + &n^, y = ^Vi^ei + ^2^e2 + ... + K^en bo‘lsin, ya’ni x vektorning koordinatalari E, ,..., £_n, hamda y vektorning koordinatalari esa v, v₂,..., v_n bo‘lsin, u holda
^(X, y ⁾ = ^E1^V1 + ^E2^V2 + ... + ^En^Vn
bo‘ladi.
Demak, ortonormal bazisda ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi ularning mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng.
Endi x vektorning ortonormal e, e,..., e bazisdagi koordinatalarini bazis vektorlar bilan qanday bog‘lanishga ega ekanligini ko‘rsatamiz.
x = Ee + Ee +... + E e
~1 1 ~2 2 ^n n
tenglikning ikkala tomonini e ga skalyar ko‘paytirib,
^{(X, e}i⁾ = ^E1^(el^{, e}i⁾ + ^E2 ^(e2^{, e}i⁾ + ... + ^En ^(en^{, e}i⁾ = ^E1
ekanini va xuddi shunday,
^E2 = ⁽X^e2^{), E}3 = ^{(X, e}3^ ...^, 4„ = ^(X,e„⁾ ekanligini topamiz.
Shunday qilib, berilgan vektorning ortonormal bazisdagi koordinatalari shu vektor bilan mos bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmalaridan iboratligini hosil qildik.
Ortogonal proyeksiya va ortogonal to‘ldiruvchi. Endi berilgan vektorning qandaydir qism fazoga ortogonal proyeksiyasi va ortogonal to‘ldiruvchisi tushunchalarini kiritamiz.

8. 
   ta’rif. Bizga V fazoning qandaydir V' qism fazosi berilgan bo‘lsin. Agar x gV vektor V' qism fazoning ixtiyoriy vektoriga ortogonal bo‘lsa, u holda x vektor V' qism fazoga ortogonal deyiladi.
   

Ravshanki, agar x vektor e, e₂,..., e vektorlarga ortogonal bo‘lsa, u holda x bu vektorlarning istalgan chiziqli kombinatsiyasiga


159

ham ortogonal bo‘ladi. Haqiqatdan ham, (x,e) = 0, 1 < i < n ekanligidan (x,^e + 4₂e₂ + ••• + A_ne_n) = 0 bo‘lishi osongina kelib chiqadi. Shuning uchun berilgan x vektor V' qism fazoga ortogonal bo‘lishi uchun uning bazis vektorlarga ortogonal bo‘lishi zarur va yetarli.

Aytaylik, ixtiyoriy z e V vektor berilgan bo‘lib, bu vektor uchun shunday у eV' vektor topilsinki, natijada z - у vektor V' qism fazoga ortogonal bo‘lsin. Ya’ni zeV vektorni z = x + у, xeV, у eV' ko‘rinishida yozilsin, bu yerda x vektor V' qism fazoga ortogonal vektor.

9. 
   ta’rif. Agar z = x + у, x eV, у eV' ko‘rinishida ifodalangan bo‘lib, x vektor V' qism fazoga ortogonal bo‘lsa, у vektor z vektorning ortogonal proyeksiyasi x esa ortogonal to‘ldiruvchisi deyiladi.
   

Quyidagi tasdiqda ortogonal proyeksiya va ortogonal to‘ldiruvchi har doim mavjud va yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Umuman olganda berilgan vektorning ortogonal proyeksiyasi mavjudligidan ortogonal to‘ldiruvchining mavjudligi ham o‘z-o‘zidan kelib chiqadi.

10. 
    tasdiq. zeV vektorning chekli o‘lchamli V' qism fazoga ortogonal proyeksiyasi mavjud va yagona.
    

Isbot. Aytaylik, dimV' = n bo‘lib, V' qism fazonig bazisi e, e₂,•••, e bo‘lsin. Ortogonal proyeksiyani у = \e_T + X₂e₂ + ••• + \e_n ko‘rinishida izlaymiz.
z - у vektor V' qism fazoga ortogonal bo‘lishi uchun, uning bazis vektorlarga ortogonal bo‘lishi zarur va yetarli ekanligidan (z - У, e₍) = 0, 1 < i < n tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni
(z,e) = (\e_x + \e₂ + ••• + X_ne_n,e.), 1 < i < n.

Bu tenglikdan ko‘rinadiki, ortogonal proyeksiyani topish masalasi, biror bazisda A, A,. ., A noma’lumlarga nisdatan quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini yechish masalasiga keltirildi: