Algebra va sonlar nazariyasi

e, e, •••, ^ vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan V va f₊₁, f₊₂,—, f vektorlarning chiziqli kombinatsi­yasidan iborat bo‘lgan V₂ qism fazolami qaraymiz. Ma’lumki, dim(V) = p, dim(V₂) = n - p' bo‘lib, n - p' + p > n ekanligi uchun

2. 
   lemmaga asosan I ’ va F₂ qism fazolarning kesishmasida noldan farqli x e l\ П V₂ vektor mavjud. U holda
   

^x = ^£i^ei +^£2^e2 + ••• + ^£p^ep
va
^x = rp+1^fp+1 + r_p'+2^fp'+2 + ••• + rn^fn bo‘ladi, ya’ni x vektor e, e₂,•••, e bazisda (£, £, •••, £,0, •••,0)
koordinatalarga, ^ ^f2^,•••^{, f}n bazisda esa (0, •••,0, щ+-, Гр+2, •••, Гп)
koordinatalarga ega bo‘ladi.
Bu koordinatalarni (27.2) va (27.3) tengliklarga qo‘yib, bir tomondan
A(x,x) = £i² +£² + ••• + £ > 0, ikkinchi tomondan esa
^{A(x, x)} = ^-rp'+1 - rp²-₊₂ - ••• - rl'₊₄ < ⁰
munosabatni hosil qilamiz. Bu esa p > p' deb olingan farazga zid.
Xuddi shu usul bilan p < p' , q > q' va q < q' tengsizliklarning o‘rinli emasligi ham ko‘rsatiladi. Demak, p = p', q = q ' • □

2. 
   ta’rif. Kvadratik formaning kanonik shaklidagi noldan farqli koeffitsientlar soni kvadratik formaning rangi deyiladi.
   

Yuqorida isbot qilingan inersiya qonunidan kvadratik formaning rangi faqat uning o‘ziga bog‘liq bo‘lib, kanonik shaklga keltirish usuliga bog‘liq emasligi to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.


183




Amalda kvadratik formaning rangini kvadratik formaning kanonik shaklidan foydalanmay turib aniqlash usuli mavjud. Buning uchun kvadratik forma rangi bilan uning biror bazisdagi matritsasi rangi orasidagi bog‘lanishni o‘rnatish kifoya.

2. 
   ta’rif. Quyidagi to‘plam
   

• 
  = {y e V | Vx g V, A(x, y) = 0} berilgan bichiziqli formaning nol qism fazosi deb ataladi.
  

Ya’ni, V to‘plam ixtiyoriy xeV vektor uchun A(x,y) = 0 shartini qanoatlantiruvchi y vektorlar to‘plamidir.

• 
  to‘plam qism fazo ekanligini ko‘rish qiyin emas, haqiqatdan ham, y, y₂ gV₀ vektorlar uchun A(x, у_х) = 0 va A(x, y₂) = 0 ekanli- gidan,
  

A( x,Ay) = AA( x, yi) = 0,
^A(x yi + y2⁾ = ^A(x Ух⁾ + ^A(x, y2⁾ = ⁰
tengliklarni hosil qilamiz, demak, Ay_l, у_х + y₂ e V₀.

• 
  fazoni topish uchun V fazoda biror f, f₂,..., f_n bazis olib,
  
• 
  fazoning elementlarini
  

У = 2^f +22^f2 + ... + 2n^fn
ko‘rinishida izlaymiz. A(f,y) = 0, 1 < i < n ekanligidan
^A(fi^,2^fi+22^f2 +... + 2n^f) = ^{0 A}C/2 2/1+22/2 + ... + 2n^f) = <sup>0


A(f</sup>n ^,2^f1 + 22^f2 +... + 2n^f) = ⁰
tengliklarni hosil qilamiz. Agar A(f_i, fj) = a_{i j} kabi belgilash kiritsak,


^ai,i2 + ^ai,222 +... + ^ai,n2n = ^{0 a}2,i2 + ^a2,222 + ... + ^a2,n2n = <sup>0,


a</sup>n,i2 + ^an2 +... + ^an2n = ⁰

tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamalar sistemasining a, /u₂, •••, /u_n yechimlari to‘plami V₀ fazoning elementlarini aniqlaydi, ya’ni koordinatalari yechimlar to‘plamidan olingan vektorlar V₀ nol qism fazoni tashkil qiladi.

Ma’lumki, agar chiziqli tenglamalar sistemasi matritsasining rangi r ga teng bo‘lsa, qism fazoning o‘lchami n - r ga teng bo‘ladi. Demak, V₀ nol qism fazoning o‘lchami kvadratik formaning biror bazisdagi matritsasi rangiga bo‘gliq ekan.
Ikkinchi tomondan esa, nol qism fazo o‘lchami bazisga bog‘liq emasligidan, kvadratik forma matritsasining rangi ham bazisning tanlanishiga bog‘liq emasligi kelib chiqadi.
Endi kvadratik forma matritsasi rangini kvadratik forma rangi bilan bog‘lanishini keltiramiz. Ma’lumki, kvadratik formaning kanonik bazisdagi matritsasi
0 ••• 0^л 0 4 •••0
V^{0 0} ••• 4,
ko‘rinishga ega bo‘lib, bu matritsaning rangi noldan farqli koeffitsientlar soniga teng. Bu esa kvadratik forma rangining o‘zginasidir. Yuqorida ko‘rsatilgani kabi kvadratik forma matritsasining rangi tanlangan bazisga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun, ixtiyoriy bazisda ham kvadratik forma matritsasining rangi kvadratik formaning rangiga teng ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni quyidagi teorema o‘rinli.

2. 
   teorema. Turli bazislarda kvadratik formaning matritsasi bir hil r rangga ega bo‘lib, bu r soni kvadratik formaning kanonik shaklidagi noldan farqli koeffitsientlar soniga teng.
   

Bu teoremadan kvadratik formaning rangini topish uchun uni qandaydir bazisdagi matritsasining rangini hisoblash yetarli ekanligi kelib chiqadi.


185

VI BOB. CHIZIQLI ALMASHTIRISHLAR

28. 
    - §. Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari
    

Ushbu mavzuda biz chiziqli fazoda aniqlangan akslantirishlar ichida muhim o‘rin egallaydigan chiziqli almashtirish tushunchasini kiritamiz.

1. 
   ta’rif. n o‘lchamli V fazoda aniqlangan A: V ^ V akslantirish uchun
   

1. 
   A( x + x₂) = A(x ) + A(x₂);
   
2. 
   A(4x) = 4A(x)
   

shartlar bajarilsa, u holda A akslantirish chiziqli almashtirish deyiladi.
Odatda A chiziqli almashtirishning qiymati A(x) o‘rniga Ax yoziladi.
Misol 28.1. a) uch o‘lchamli M³ Yevklid fazosida vektorni koordinata boshidan o‘tadigan biror o‘q atrofida burishdan iborat bo‘lgan almashtirishni qaraymiz. Bunda xar bir x vektorga uni burishdan so‘ng hosil bo‘lgan Ax vektorni mos qo‘yamiz. Bu moslik

1. 
   va 2) shartlarni qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas.
   

Masalan, 1) shartni tekshirib ko‘raylik: A( x + x₂) ifoda avval x hamda x₂ vektorlarning qo‘shilishini, so‘ngra hosil bo‘lgan vektorning burilishini bildiradi. Ax + Ax₂ esa avval x hamda x₂ vektorlarning burilishini, so‘ngra ularning qo‘shilishini bildiradi. O‘z- o‘zidan ravshanki, ikkala holda ham natija bir hil bo‘ladi. Demak, A akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.

2. 
   Bizga K³ Yevklid fazosi va uning koordinatalar boshidan o‘tuvchi biror tekisligi bo‘lgan V qism fazosi berilgan bo‘lsin.
   

Ixtiyoriy iel³ vektorga uning bu tekislikdagi x, = Ax proeksiyasini mos qilib qo‘yamiz. Bu moslik ham chiziqli almashtirish bo‘ladi.

с) [0,1] segmentda uzluksiz funksiyalardan iborat fazoni

qaraylik. Bu fazoda aniqlangan Af (t) = J f (s)ds akslantirish chiziqli
almashtirish bo‘ladi. Haqiqatdan ham,
A(f (t) + f2(t)) = j LfT(s) + f₂(s)]ds =
* 0
= jt (s)ds + = Afi(t) + Af2(t),