Algebra va sonlar nazariyasi

n
^A( x У⁾ = Z ^ar, £lj
ⁱ J=^T
ko‘rinishda yozilishini ko‘rsatgan edik. Demak, A(x, x) kvadratik forma ham berilgan bazisda
n
^A( x ^x) = Z ^ak^££
i,k=1
formula bilan ifodalanadi, bunda a_{i k} = a_ki.

5. 
   ta’rif. Agar xar qanday x Ф 0 vektor uchun A(x, x) > 0 bo‘lsa, A(x, x) kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma deyiladi.
   

Misol 25.1. A(x, x) kvadratik forma biror bazisda A(x,x) = £² +£² + ••• + £² ko‘rinishga ega bo‘lsa, bunday kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma bo‘ladi.
A(x, x) musbat aniqlangan kvadratik forma va A(x, у) uning qutbiy bichiziqli formasi bo‘lsin. Yuqorida berilgan ta’riflarga muvofiq quyidagilarga ega bo‘lamiz:

1. 
   A(x, y) = A(y, x);
   
2. 
   A(x- + x2, y) = A( x-, y) + A( x2, y);
   
3. 
   A( y) = y);
   
4. 
   A(x, x) > 0 va A(x, x) = 0 ^ x = 0^
   

169




Bu shartlar skalyar ko‘paytmaning aksiomalari bilan bir hil ekanligini ko‘rish qiyin emas. Demak, musbat aniqlangan kvadratik formaga mos bo‘lgan bichiziqli forma skalyar ko‘paytma bo‘ladi.
Kompleks sonlar maydoni ustida berilgan vektor fazoda bichiziqli forma quyidagicha aniqlanadi.

6. 
   ta’rif. Agar VxV to‘plamni С maydonga o‘tkazuvchi A: V x V —> С akslantirish aniqlangan bo‘lib, A(x,y) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa,
   

1. 
   A(Ax- + nx₂, y) = AA(x_x, y) + fiA( x2, y);
   
2. 
   A( x, Ay- + ay 2) = AA(x, y-) + aA( x, у 2),
   

u holda A( x, y) funksiya bichiziqli forma deb ataladi.

21. 
    - §. Kvadratik formaning kanonik shakli
    

Biz avvalgi mavzuda A( x, x) kvadratik formaning aniqlanishi x vektorning berilgan bazisdagi koordinatalariga bog‘liq ekanligini keltirib o‘tdik. Bu mavzuda kvadratik formani kvadratlar yig‘indisi shakliga keltirish, ya’ni kvadratik formani
A(x, x) = A^i² + A&² + ••• + A£² (26.1)
ko‘rinishga keltiradigan bazisni topish masalasini qaraymiz.

1. 
   ta’rif. Kvadratik formaning (26.1) ko‘rinishidagi shakli uning kanonik (normal) shakli deb ataladi.
   
2. 
   teorema. n o‘lchamli V fazoda berilgan ixtiyoriy A(x,x) kvadratik forma uchun shunday e_x, e, •••, e bazis mavjudki, bu bazisda kvadratik forma
   

A(x, x) = A-^i² + A2^² + ••• + An£n², ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, A(x,x) kvadratik forma biror f, f₂, •„, f_n bazisda quyidagi

n

^A( x ^x) = У ^ai, j^i^j (26.2)
i ^,j=1
ko‘rinishga ega bo‘lsin. Bunda ', ',..., ' lar x vektorning ushbu bazisdagi koordinatalari.
Bazisni (26.2) formulada turli indeksli koordinatalarning ko‘paytmalari yo‘qolib boradigan qilib almashtiramiz. Bazisning xar bir almashtirilishiga ma’lum koordinatalarning xosmas almashtirilishi, va aksincha, koordinatalarning xosmas almashtirilishiga ma'lum bazis almashtirishlari to‘g‘ri kelgani uchun koordinatalarni almashtirish formulalarini yozish bilan chegaralanamiz.
A( x, x) kvadratik formani kanonik shaklga keltirish uchun, bizga a_it koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi kerak. Bunga hamma vaqt erishish mumkin. Haqiqatan ham, nolga aynan teng bo‘lmagan A(x,x) kvadratik formada o‘zgaruvchining birorta ham kvadrat bo‘lmasin deb faraz qilaylik, u holda kamida bitta noldan farqli ko‘paytma, masalan, 2a₁₂r₁r₂ mavjud bo‘ladi. ' va ' koordinatalarni
r = '+' r = ' ^-n2
kabi almashtirib, boshqa o‘zgaruvchilarni o‘zgartirishsiz qoldirsak, bunday almashtirishda 2a₁₂nn₂ hadning ko‘rinishi 2a₂(П\ -'²) bo‘lib qoladi. Farazga muvofiq, a_n = a₂₂ = 0 bo‘lgani uchun, bu hech qanday had bilan qisqarmaydi, ya’ni r'\ ning koeffitsienti noldan farqli bo‘ladi.
Demak, umumiylikka ziyon yetkazmagan holda (26.2) formulada aj ₁ Ф 0 deb olish mumkin. Kvadratik formada ' qatnashgan hadlarni ajratib yozamiz:
^ai,i'² + ^2ai,2'i'2 + ... + ^2ai,n"n.
Bu yig‘indini to‘la kvadratgacha to‘ldiramiz, ya’ni uni


171

^ai,i^i² + ^2ai,2^i^2 + ••• + ^2ai,nWn =— Ц1Л1 + ••• + ^aiA ^{)2 - 2 (26}.³⁾

ko‘rinishda yozamiz, bu yerda В ifoda faqat a 2Л2,—, aпЛ_п hadlar kvadratlari va ularning ko‘paytmalarini o‘z ichiga olgan haddir.

3. 
   ifodani (26.2) tenglikga qo‘ygandan so‘ng qaralayotgan kvadratik forma
   

1 2
A⁽x ^x) = — Цл + ••• + ^ai n^n⁾ + •••
^ai,i
ko‘rinishga keladi, bunda yozilmagan hadlar л₂, •„, л_п o‘zgaruvchilardangina tashkil topgan. Quyidagicha o‘zgartirish kiritamiz
*
л- = ад + ^2+•••+^aT,n^n^,
=Л2^,


Лп = Л„ •
U holda kvadratik forma

2. 
   n
   

^A( x ^x) =—л-*² + Z ^a*, д’л*
^ai,i i ,j=2 ^{j j}
ko‘rinishiga keladi.
n
Z a*ЛЛ ifoda (26.2) formulaning o‘ng tomoniga juda


n
a
^{i ,j}=²
* 2,2


o‘xshash bo‘lib, bunda faqat birinchi koordinata ishtirok etmaydi. a.
koeffitsientni noldan farqli deb faraz qilib, o‘zgaruvchilarni
yuqoridagi usulda,
** *
Л- = Л1^,
Ъ = ^a*,2 Л2* + ^a*,3 Лз* + ••• + ^a*,n Л*^,
^ *
Лз =Лз^,


Лп =Лn^,
formulalarga muvofiq yangidan almashtirishimiz mumkin.


^ai,i

Bunday almashtirishdan so‘ng kvadratik forma

2. 
   1 n