Algebra va sonlar nazariyasi

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer qoidasidan foydalanamiz. Tenglamalar sistemasining asosiy determinanti \ ekanligini yuqorida ko‘rsatdik, a_kk noma’lumga mos keluvchi determinant esa


Л„ =


Affi) A(fi, Q
Af fi) A(f₂J₂)
Af i, fi) A(f_k -, f2)
A(fk, fi) A(f_k, f₂)
A(fi, fi) A(fi, f₂)
A(f₂,f-) A(f₂J₂)


A(fi, fk-i) 0 A(f2,fk-i) 0


Af-, fk-i) 0 A(fk, fk-i) - A(fi, fk -i)
A(f2, f_k -l)


A(f_w, fi) A(fk-i, f2) ••• A(fk -i, fk--)


= л„


bo‘ladi. Bundan


ekanligi kelib chiqadi.


_a = ^Лk-^1
ak ,k


Л


k


л


Shunday qilib, A(e_t,e.) = 0, i Ф j va A(e,e)^—^k-¹ ekanligiga
^{j л}k
ega bo‘lamiz.
Kvadratik formani kvadratlar yig‘indisiga keltirishning yuqorida keltirib o‘tilgan usuli Yakobi usuli deb ataladi.
Takidlash joizki, yuqoridagi teoremani isbot qilish jarayonida e, e, •••, e bazisning aniq ko‘rinishi mavjudligi ko‘rsatildi. Lekin bundan kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltiruvchi bazis yagona degan hulosa chiqazish noto‘g‘ri. Ya’ni, boshqa bir bazisda ham kvadratik forma kanonik ko‘rinishga kelishi mumkin. Masalan,


a


a


a


1,1


1,2


1, k -1


a


a


a


2,1


2,2


2,k-1


^ak-1,1 ^ak -1,2 ••• ^ak-1,k -1

boshlang‘ich f, f₂, •„, f_n bazislarni o‘zgartirsak, ularga mos ravishda e, e, •••, e bazislar ham o‘zgaradi.

Bundan tashqari 26.2-teoremani isbot qilish jarayonida berilgan kvadratik formani kanonik ko‘rinishi


т £ +л й ^л- ^л2


^лп-^2
'“I $n
л


bo‘lishini aniqladik.
Bu bilan kvadratik forma kanonik ko‘rinishining musbat va manfiy koeffitsientlari sonini topish imkoni kelib chiqadi. Masalan, agar л_м va л larning ishorasi bir hil bo‘lsa, u holda £² ifoda musbat koeffitsientga, aks holda esa manfiy koeffitsientga ega bo‘ladi. Bu esa kvadratlar oldidagi manfiy koeffitsientlarning soni
l, л, л ,•••, л
’ 1 ’ 2? ’ n
qatordagi ishora almashishlar soniga teng ekanligini anglatadi.
Xususiy holda л >0, л₂ >0, •••, \ >0 bo‘lsa, u holda kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi
A( X, x) = 4i£i² + ^2² + ••• + 4£„² kabi bo‘lib, X_t >0 bo‘ladi. Bu esa x ning xar qanday qiymatida A(x, x) > 0 ekanligini, shu bilan birga, faqatgina £ = £ =••• = £ =0 bo‘lgandagina A( x, x) = 0 bo‘lishini bildiradi.

4. 
   teorema. A(x, x) kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lishi uchun л >0, л₂ > 0, •••, \ >0 bo‘lishi zarur va yetarlidir.
   

Isbot. Teoremaning yetarlilik isboti yuqoridagi mulohazadan kelib chiqadi. Shuning uchun uning zaruriyligini isbot qilish bilan chegaralanamiz.
Aytaylik, A(x, x) kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lsin. Dastlab \ ф 0 ekaniligini ko‘rsataylik. Teskarisini faraz qilaylik,


ya ni


Лk =


A(fi, fi) A(f2, fi)


A(fi, f2) A(f₂, f2)


A(fi, f_k) A(f2, f_k)


A(fk, fi) A(f_k, f2) ••• A(fk, f_k)


= 0


179




bo‘lsin. Bundan determinantning satrlari chiziqli bog‘liq ekanligi kelib chiqadi, ya’ni, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan л, /u₂,..., 2 lar topilib,
2i^A(fi^,f_i ⁾ + ^2^A(f2^,fi ⁾ + .. + 2_k^A(f_k ^{,f )} = ^{0, 1} <ⁱ < ^k o‘rinli bo‘ladi. Yuqoridagi tenglikdan
^A(2^f + ^2^f2 + - + 2k^fk ^,fi ⁾ = ^{0, 1} < ⁱ < ^k ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa
^A( 2^f + V2^f2 + ... + 2k^fk^, 2^f1 +V2^f2 + ... + 2k^fk⁾ = ⁰ tenglikni hosil qilamiz. Bu kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligiga zid, chunki лf + л₂f₂ +... + /л_кf_k * 0.
Demak, A* 0 bo‘lib, к ning ixtiyoriyligidan A, A,-., A larning barchasi noldan farqli ekanligi kelib chiqadi. U holda 26.2- teoremaga ko‘ra A(x,x) kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi
A( x, x) = -^J #i² + ^A #² +... + ^A±- £.
^A1 ^A2 ^An