Algebra va sonlar nazariyasi

Isbot. Buni ko‘rsatish uchun induksiya usulidan foydalanamiz. k = 1 uchun bu tasdiq o‘z-o‘zidan ravshan. Endi ushbu tasdiqni k — 1 ta xos vektor uchun o‘rinli deb, uni k ta xos vektor uchun isbot qilamiz.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni

a_xe_x + a₂ e₂ +... + a_k e = 0 (29.3)

tenglik a_x, a₂,..., a_k koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lganda o‘rinli bo‘lsin. Aytaylik, а_хФ 0 bo‘lsin, u holda yuqoridagi tenglikning xar ikkala tomoniga A almashtirishni tadbiq qilamiz:
A(a_xe_x + a₂ e₂ +... + a_k e_k ) = 0,
ya’ni
a_x\e_x + a₂\ e₂ +... + a_k\e_k = 0. (29.4)
(29.3) tenglikni A_k ga ko‘paytirib (29.4) tenglikdan ayirsak, ushbu ifodani hosil qilamiz:
^a2^(A1 ^{— A}k ^)ei +^a2^(A2 ^{— A )e}2 + ... + Ot—1⁽1—1 ^—A)ek—1 = ⁰.
Induksiya faraziga ko‘ra, e, e,..., vektorlarning chiziqli
erkliligi va A_t Ф Aj ekanligidan biz a_x = a₂ =... = a_{k x} = 0 tenglikni hosil qilamiz. Bu esa а_хФ 0 degan farazga zid. Demak e, e,.., e vektorlar chiziqli erkli.
Yuqoridagi tasdiqdan bevosita quyidagi natija kelib chiqadi.

5. 
   natija. Agar A chiziqli almashtirishning xarakteristik ko‘phadi n ta xar hil ildizga ega bo‘lsa, u holda A almashtirish matritsasini diagonal shaklga keltirish mumkin.
   

Haqiqatdan ham, xarakteristik tenglamaning xar bir A_k ildiziga kamida bitta xos vektor to‘g‘ri keladi. Bu vektorlarga mos bo‘lgan xos qiymatlarning hammasi turlicha bo‘lganligi uchun, yuqoridagi tasdiqqa muvofiq n ta chiziqli erkli e, e₂,..., e xos vektorlarga ega bo‘lamiz. Bu vektorlarni bazis sifatida olsak, A almashtirishning matritsasi diagonal ko‘rinishga keladi.
Agar xarakteristik ko‘phad karrali ildizlarga ega bo‘lsa, u holda chiziqli erkli xos vektorlarning soni n dan kichik bo‘lishi mumkin.
Masalan, darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosida har bir ko‘phadga uning hosilasini mos qo‘yuvchi A almashtirish faqat bitta A = 0 xos qiymatga va bitta P(t) = const xos vektorga ega.


201

Haqiqatdan ham, darajasi к > 0 bo‘lgan xar qanday P(t) ko‘phad uchun P'(t) ko‘phadning darajasi к -1 ga teng va shuning uchun P'(t) = AP(t) tenglik faqat A = 0 va P(t) = const bo‘lgan holdagina bajariladi.

28. 
    - §. Chiziqli almashtirishga qo‘shma almashtirish
    

Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar bilan bichiziqli formalar orasidagi bog‘lanish. Biz avvalgi mavzularda chiziqli fazoda bichiziqli formalar va chiziqli almashtirishlarni o‘rganib chiqdik. Ushbu mavzuda Yevklid fazosidagi bichiziqli formalar va chiziqli almashtirishlar orasidagi bog‘lanishni keltiramiz.

• 
  kompleks Yevklid fazosi va A(x, y) bichiziqli forma berilgan bo‘lsin. V fazoda biror e,, e,..., e ortonormal bazis tanlab olamiz.
  

1 “ 2' ~ n
Agar
x = Ee +Ee +...+E e va y = ve + ve +... + v e
1 1 2 2 nn 1 1 2 2 nn
bo‘lsa, u holda A(x,y) bichiziqli formani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:


^A(X, У) = ^ai,1^E1^V1 + ^ai,2^E1^V2 + ... + ^ai,n^E1^Vn +
+^a2,1^EV + ^a2,2^E1^V2 + ... + ^a2,n^EVn +


(30.1)


+a ,Ev + a Ev +... + a E v .
n,1 1 1 n,2 1 2 n,n n n


Biz A( x, y) bichiziqli formani biror skalyar ko‘paytma ko‘rinishida ifodalashga harakat qilamiz. Buning uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
^A( X У⁾ = ^(ai,1^E1 + ^a2,1^2 + ... + ^an,1^En ^{) V}1 +
+^(ai,2^E1 + ^a2,2^2 + ... + ^anEn ^)V2 +


(a E + a E+... + a E )v .

• 
  1,^ 1 2,n^2 n,n?ns n
  

Endi A: V ^ V chiziqli almashtirishni aniqlaymiz. Buning uchun berilgan x = Ee + Ee₂ +... + E„e_n vektorga

^Z = КД + ^aiA + ... + ^an,1^En ^)ei + ^(ai,2^E1 + «2,2^2 + ... + ^anEn ^)e2 +
+... + Kn^i + ^a2,n^2 + ... + ^anjn ^)en
vektorni mos qo‘yamiz. Natijada matritsasi A(x,y) bichiziqli forma matritsasining transponirlanganiga teng bo‘lgan A: V ^ V chiziqli almashtirish hosil bo‘ladi. Demak, biz quyidagi tenglikni hosil qildik:
^{A( x,} y⁾ = si ^vi + sv^v2 +... + sv_n =⁽^ У⁾ =^(Ax, У^{), bu} y^erda g_k = ^ai,k^Ei + ^a2,k^2 +... + a„E.