Algebra va sonlar nazariyasi

e, e,. ., e bazis elementlarini f, f₂,..., f_n elementlarga mos ravishda o‘tkazuvchi C chiziqli almashtirish quramiz, ya’ni Ce = f.

1. 
   tasdiqqa ko‘ra bunday almashtirish mavjud va yagona bo‘lib, qurilgan C chiziqli almashtirishning e , e , ... , e bazisdagi matritsasi (c ) matritsa bilan ustma-ust tushadi. Bundan tashqari, bu
   

chiziqli almashtirish bazis vektorlarni bazis vektorlarga o‘tkazganligi uchun, u teskarilanuvchi almashtirish bo‘ladi.
Berilgan (28.3) formulalarning o‘ng va chap tomonlarida f_k ni Ce bilan hamda f ni Ce bilan almashtirsak,
n
ACe_k =£ bC
i=1
hosil bo‘ladi.
Bu tenglikning ikkala tomoniga C ¹ almashtirishni tatbiq qilib,
f n Л n n
CACek = CI Y.KkCe, | = £b,,C~'(Ce,) =
V i=1 J i=1 i=1
tengligni hosil qilamiz.


195

Bu tenglikdan esa (b_tj) matritsa C ¹AC almashtirishning

e, e₂,..., e bazisdagi matritsasi ekanligi ko‘rinib turibdi.
Almashtirishlarni ko‘paytirganda ularning berilgan e, e,-., e„
bazisdagi matritsalari ko‘paytirilishidan B = C~^lAC tenglik kelib chiqadi.

28. 
    - §. Invariant qism fazolar. Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari
    

Invariant qism fazolar. Agar V chiziqli fazoda biror chiziqli yoki bichiziqli funksiya berilgan bo‘lib, bu funksiya faqat V fazoning biror V qism fazosidagina aniqlangan bo‘lsa, u holda biz uni V da berilgan deb hisoblashimiz, ya’ni V o‘rniga faqat V ni qarashimiz mumkin.
Chiziqli almashtirishlarga keladigan bo‘lsak, bu yerda holat butunlay boshqacha bo‘ladi. Darhaqiqat, chiziqli almashtirish V qism fazoning biror vektorini V ga tegishli bo‘lmagan vektorga o‘tkazib yuborishi ham mumkin. Bunday holatda biz faqat V qism fazo bilan chegaralanib qola olmaymiz.

1. 
   ta’rif. V chiziqli fazo va A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lsin. Agar V qism fazoning ixtiyoriy x elementi uchun Ax vektor ham V ga tegishli bo‘lsa, u holda V_x qism fazo A chiziqli almashtirishga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.
   

Ta’rifdan ko‘rinadi-ki, A chiziqli almashtirishni biror qism fazoda qarashimiz uchun, u invariant qism fazo bo‘lishi kerak.
Misol 29.1. a) Faqat noldangina iborat bo‘lgan qism fazo va butun fazo invariant qism fazolardir. Bu qism fazolar trivial invariant qism fazolar deyiladi.

2. 
   №³ uch o‘lchamli fazoda vektorni noldan o‘tgan biror o‘q atrofida burishdan iborat bo‘lgan chiziqli almashtirishni qaraylik. Bu holda aylanish o‘qi bir o‘lchamli invariant qism fazo, koordinatalar
   

boshidan o‘tib, bu o‘qqa ortogonal bo‘lgan tekislik esa ikki o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
с) Ш² tekislikda (ikki o‘lchamli fazo) A chiziqli almashtirish tekislikni X o‘q bo‘yicha A marta, Y o‘q bo‘yicha A₂ marta cho‘zishdan iborat bo‘lsin. Boshqacha aytganda, agar z = Ee + Ee uchun Az = AEe + AEe₂, bu yerda e, e₂ o‘qlardagi birlik vektorlar. Bu holda X hamda Y koordinata o‘qlari bir o‘lchamli invariant qism fazolar bo‘ladi. Agar A = A = A bo‘lsa, u holda koordinatalar boshidan o‘tgan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq invariant qism fazo bo‘ladi.
Xos son va xos vektorlar. V fazo va undagi biror x Ф- 0 vektordan hosil bo‘lgan bir o‘lchamli V_x qism fazo berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, V_x fazo Ax ko‘rinishidagi elementlardan tashkil topadi. V fazo invariant bo‘lishi uchun Ax vektor ham V_x da yotishi, ya’ni
Ax = Ax
bo‘lishi zarur va yetarlidir.

2. 
   ta’rif. Ax = Ax munosabatni qanoatlantiruvchi x Ф- 0 vektor A chiziqli almashtirishning xos vektori, unga mos keluvchi A son esa xos son deyiladi.
   

Shunday qilib, agar x vektor xos vektor bo‘lsa, u holda ax vektorlar to‘plami bir o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Aksincha, bir o‘lchamli invariant qism fazoning noldan farqli barcha vektorlari xos vektorlardir.

3. 
   teorema. V kompleks fazoda xar qanday A chiziqli almashtirish kamida bitta xos vektorga ega.
   

Isbot. V fazoda biror e,, e,..., e bazis tanlab olamiz. Bu
1 “ 2 “ “ n
bazisda A chiziqli almashtirishning matritsasi (a_{i j}) bo‘lsin. Ixtiyoriy x = Ee + Ee + .. + Ee„ e V vektor uchun Ax vektorni qarasak,
Ax = E A(e) + £₂ A(e₂) +... + %_nA(e_n ) =
^E1 ^(ai,i^ei + ^a2,i^e2 + ... + ^an,i^en ⁾ + ^E2 ^(ai,2^ei + ^a2,2^e2 + ... + ^an,2^en ⁾ +
+... + E, ^(ai,„^ei + ^a2,n^e2 + ... + ^an,„^e„ ⁾ =
^(ai,1^E1 + ^ai,2^E2 + ... + ^aijn ^)ei + ^(a2,1^E1 + ^a2,2^E2 + ... + ^a₂Jn ^)en +
197