Mazkur qism fazoning o‘lchami A almashtirishning rangi deyiladi.
ta’rif. A almashtirishning yadrosi deb Ax = 0 bo‘ladigan vektorlar jamlanmasiga aytiladi va Ker( A) kabi belgilanadi, ya’ni
Ker( A) = {x eV | Ax = 0} .
tasdiq. Ixtiyoriy chiziqli almashtirishning yadrosi qism fazo tashkil qiladi.
Isbot. Haqiqatdan ham, Ax = 0 va Ax2 = 0 bo‘lsa, u holda
A( x + x) = Ax + Ax2 = 0.
Xuddi shunga o‘xshab, agar Ax = 0 bo‘lsa, AAx = AAx = 0, ya’ni Ker( A) qism fazo. □
Agarda A xosmas almashtirish bo‘lsa, uning yadrosi faqat noldan iborat bo‘ladi.
Misol 28.3. V fazo darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosi bo‘lsin. A almashtirish esa differensiallash bo‘lsin. Ya’ni
AP( x) = P ' (x).
Bu alamshtirishning yadrosi konstantalardan, obrazi esa, darajasi n -1 dan oshmaydigan ko‘phadlardan iborat bo‘ladi. Ularning o‘lchamlari esa, mos ravishda birga va n ga teng.
tasdiq. n o‘ lchamli V chiziqli fazodagi ixtiyoriy A almashtirishning obrazi va yadrosi o‘lchamlari yig‘indisi butun fazo o‘lchamiga teng, ya’ni dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) = n.
Isbot. Aytaylik, A almashtirish yadrosining o‘lchami k ga teng bo‘lsin. U holda Ker(A) da e, e2, •••, e bazis tanlab, uni butun fazodagi e, e, •••, e, e+1, •••, e bazisgacha to‘ldiramiz.
Aet+1, •••, Aen vektorlarni qaraylik. Bu vektorlar almashtirishning obraziga tegishli bo‘lib, ular Im( A) da bazis tashkil qiladi.
Darhaqiqat, ixtiyoriy y e Im(A) vektor berilgan bo‘lsa, ta’rifga ko‘ra shunday x vektor mavjudki, y = Ax. e, e2, •••, e vektorlar V da bazis bo‘lganligi sababli x = ye1 + y2e2 + ••• + ynen. Lekin, Ae- = ••• = Aek = 0 bo‘lgani uchun y = Ax = yk+lAek+l + ••• + ynAen. Ya’ni ixtiyoriy y e Im(A) vektor Aen vektorlar orqali
chiziqli ifodalanadi.
Endi n - k ta Ae^^, Aen vektorlarning chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, ular chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U holda hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan aj sonlar
topilib,
ai Aek+1 + ••• +an-kAen = 0
bo‘ladi.
193
x = axek+x +...+ аи- A vektorni qaraylik. U holda
Ax = A(aiek+i +... + an_ken ) = aiAek+i +... + a„_tAe„ = 0
x e Ker(A) kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki bir tomondan x
yadroning elementi sifatida e , e , ... , e bazis vektorlarning chiziqli
kombinatsiyasi, ikkinchi tomondan esa, et+j,..., en vektorlarning
chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lib qoldi. Bu esa, x vektorning
bazis vektorlar yordamida berilishiga zid. Bundan esa, Aet+1,..., Aen
vektorlar chiziqli erkli ekanligi kelib chiqadi.
Demak, Im(A) = n - k, ya’ni chiziqli almashtirish obrazining
fazo o‘lchami butun fazo o‘lchami bilan chiziqli fazo yadrosi o‘lchami
ayirmasiga teng. □
Turli bazislarda chiziqli almashtirish matritsalari orasidagi
bog‘lanish. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, chiziqli almashtirishning
matritsasi berilgan chiziqli fazoning bazisiga bog‘liq, ya’ni turli
bazislarda chiziqli almashtirish turli matritsalarga ega bo‘ladi. Endi bir
bazisdan boshqa bazisga o‘tganda A chiziqli almashtirishning
matritsasi qanday o‘zgarishini keltiramiz.
chiziqli fazoda ikkita e, e2, . ., e va f, f2,..., fn bazislar
berilgan bo‘lsin. e, e,-., e bazisdan f, f,..., fn bazisga o‘tish
matritsasini (ci j) bilan belgilaymiz, ya’ni
f = a,e + cn,en +... + c e ,
J1 1,1 1 2,1 2 n,1 n’
f = c -e + c ‘->e +...+c ne ,
J 2 1,2 1 2,2 2 n,2 n’ /Л О 1\
(281)
f = c e + ^ e +... + c e .
n 1,n 1 2,n 2 n,n n
A chiziqli almashtirishning e, e2,..., e bazisdagi matritsasini
A = (a i), f, f2,..., f bazisdagi matritsasini esa B = (bi j) orqali
ganda
n
Aek =Z ai,kef, (28.2)
i=1
l,j /? У1? ./2? У n ^ wuw у i ,j
belgilaymiz. Boshqacha aytganda
n
Afk =Z bf. (28.3)
i=1
Bizning maqsadimiz (bi j) matritsani (ai j) va (ci j) matritsalar
orqali ifodalashdan iboratdir.
teorema. Agar biror chiziqli almashtirishning e, e,—, e va f, f2,..., fn bazislardagi matritsalari mos ravishda A va B b0‘lib, birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi C ga teng bo‘lsa,
B = C-1AC
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, berilgan A chiziqli almashtirish va e, e,—, e„ hamda f, f2,..., f bazislar uchun yuqoridagi (28.1), (28.2) va (28.3) shartlar o‘rinli bo‘lsin.
Do'stlaringiz bilan baham: |