Algebra va sonlar nazariyasi

C = XA chiziqli almashtirishning berilgan bazisdagi matritsasi X • (a _k ) ekanligini ko‘rish qiyin emas.

5. 
   ta’rif. A va B almashtirishlarning ko‘paytmasi deb, avval B almashtirishni so‘ngra esa A almashtirishni ketma-ket bajarishdan
   

189

iborat bo‘lgan C almashtirishga aytiladi, ya’ni C = AB ifoda x vektor uchun Cx = A(Bx) ekanligini bildiradi.

Dastlab, chiziqli almashtirishlarning ko‘paytmasi yana chiziqli almashtirish bo‘lishini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham,
C(x + x) = A(B( x + x)) = A(Bx + Bx₂) =
= A( Bx) + A( Bx₂) = Cx + Cx,
C(4x) = A(B(4x)) = A(ABx) = AA(Bx) = ACx•
Endi chiziqli almashtirishlar yig‘indisining matritsasini aniqlaga- nimiz kabi ko‘paytmaning ham matritsasini aniqlaymiz. A va B chiziqli almashtirishlar matritsalari (a_ik) va (b_ik) ekanligidan foydalanib,
( n \ n


^Cek = ^A(Bek⁾ = ^A


Z ^bj*^ej =Z ^bjk^Aej =

• 
  j=^T
  

j=1


nn


n


= Zj Zj =Z Z^а<,А


^a.
j=1 1=1 i=1


^Jj^,k
V j=^T У


e.


tenglikni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan
n
^Cek =Z C,k^e, i=1
ekanligidan
n
c., =Z a b.,
i,k Z—l i,J j,k j=1
kelib chiqadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, (c_k) matritsaning с_гк elementlari (а_г._к) matritsaning i -qator elementlari bilan (b_ik)
matritsaning k -ustunining mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng.
Shunday qilib, C = AB chiziqli almashtirishning (c_k) matritsasi A va B chiziqli almashtirishlar (a_ik) va (b_ik) matritsalari ko‘paytmasidan iborat ekanligini hosil qildik.
Xulosa o‘rnida shuni aytishimiz mumkinki, chiziqli almashtirishlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari matritsalarni


n




qo‘shish va ko‘paytirish kabi amalga oshirilib, quyidagi xossalar o‘rinli bo‘ladi:

1. 
   A + B = B + A;
   
2. 
   (A + B) + C = A + (B + C);
   
3. 
   A(BC) = (AB)C;
   
4. 
   (A + B)C = AC + BC, C( A + B) = CA + CB.
   

Aytaylik, ixtiyoriy A chiziqli almashtirish va E birlik almash­tirish berilgan bo‘lsin, u holda
AE = EA = A ekanini osongina tekshirish mumkin.
A almashtirishning darajasini odatdagidek A² = A A, A³ = A²-A,... kabi aniqlaymiz. Sonlar uchun o‘rinli bo‘lganidek, A⁰ = E deb faraz qilamiz.
Yuqoridagilardan foydalangan holda A chiziqli almashtirishdan tuzilgan ko‘phadni ham qarash mumkin, ya’ni ixtiyoriy P(t) = a₀t^m + a_xt^m~^l +... + ^ ko‘pxad berilgan bo‘lsa, P(A) deb
P(A) = a₀A^m + a_lA^m^¹ +... + a_mE formula bilan aniqlangan chiziqli almashtirishni tushunamiz.
Endi teskari almashtirish tushunchasini kiritamiz.

6. 
   ta’rif. Agar AB = BA = E bo‘lsa, B almashtirishga A ning teskari almashtirishi deyiladi, bu yerda E birlik almashtirishdir.
   

A almashtirishga teskari almashtirish A~^l kabi belgilanadi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, agar B almashtirish A ga teskari bo‘lsa B(Ax) = x, bo‘ladi.
Xar qanday almashtirish uchun teskari almashtirish mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, uch o‘lchamli fazoni OXY tekislikgiga proyeksiyalash almashtirishi teskari almashtirishga ega emas.
Teskari almashtirish tushunchasi bilan teskari matritsa tushunchasi bog‘liqdir. Ma’lumki, berilgan matritsa teskarilanuvchi


191

bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur va yetarli.

Berilgan bazisda matritsalar bilan chiziqli almashtirishlar orasida barcha amallarni saqlovchi o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lganligi uchun, A almashtirish uning biror bazisdagi matritsasi determinanti noldan farqli bo‘lgandagina teskarilanuvchi bo‘lishi kelib chiqadi. Teskarisi mavjud bo‘lgan almashtirish xosmas almashtirish deyiladi.
Ixtiyoriy A chiziqli almashtirish uchun almashtirishning yadrosi va obrazi deb ataluvchi fazolarni aniqlaymiz.

7. 
   ta’rif. A almashtirishning obrazi deb Ax ko‘rinishidagi vektorlar jamlanmasiga aytiladi, bu yerda x eV.
   

Almashtirishning obrazi Im( A) kabi belgilanadi, ya’ni Im( A) = {y eV | 3x e V, Ax = y}.
Ko‘rinib turibdiki, teskarilanuvchi almashtirishning obrazi butun fazo bilan ustma-ust tushadi.

8. 
   tasdiq. Ixtiyoriy chiziqli almashtirishning obrazi qism fazo tashkil qiladi.
   

Isbot. Aytaylik, y, y₂ e Im( A) bo‘lsin, u holda x, x₂ eV vektor­lar uchun y = Ax va y₂ = Ax₂. Ixtiyoriy X soni uchun
Xy_x = XAx = A(Xx), y + y₂ = Ax + Ax₂ = A( x + x) ekanligidan Xy_x e Im(A) va y + y₂ e Im(A) kelib chiqadi.