Algebra va sonlar nazariyasi

Agar biror i uchun A < 0 bo‘lsa, u holda bu shartni qanoatlantiruvchi eng kichik i uchun A(e., e. ) = ■^AtL < 0 bo‘ladi. Bu
A
esa A(x, x) kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligiga zid, demak, A >0, 1 < i < n.
27 - §. Inersiya qonuni
Avvalgi mavzuda A( x, x) kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish usullari bilan tanishdik. Ma’lumki, kvadratik formani turli hil usullar bilan kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin bo‘lib, uni kanonik ko‘rinishga olib keluvchi bazislar ham turlicha bo‘lishi mumkin.
Kvadratik formani
A(x, x) = Л^1² + +... + Л£ (27.1)




ko‘rinishga keltiruvchi bazis vektorlarni ularga proporsional vektorlar bilan almashtirish orqali noldan farqli A_t koeffitsientlarni 1 y_oki _-1 ga teng qilib olish mumkin. Demak, kvadratik formaning kanonik ko‘rinishini mos tartibda 0, 1 va -1 ga teng bo‘lgan koeffitsientlar soni bilan xarakterlash mumkin.
Tabiiyki, bazisni turlicha tanlab olish mumkinligi uchun, 0, 1 va -1 ga teng bo‘lgan koeffitsientlar soni bazisni tanlab olishga bog‘liqmi yoki yo‘qmi degan savol tug‘iladi.
Masalan, A(x,x) kvadratik forma biror e, e, •••, e bazisda A = (a j) matritsaga ega bo‘lib, matritsaning л, л, •••, \ bosh minorlari noldan farqli bo‘lsa, kvadratik formaning kanonik ko‘rinishidagi barcha A_i koeffitsientlar noldan farqli va manfiy koeffisientlar soni 1, л₁, л₂, •••, \ determinantlar qatoridagi ishora almashishlar soniga teng bo‘ladi.
Ammo boshqa bir f_T, f₂, •••, f_n boshlang‘ich bazis olib, bu bazisga mos keluvchi matritsani A' = (a'.) orqali belgilab, л, л , •••, л' determinantlarni topsak, hamda kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirsak, nima uchun bu holda ham ishora almashinishlar soni yuqoridagi holat bilan bir hil bo‘lishi bir qarashda tushunarli emas.
Biz ushbu paragrafda kvadratik formaning inersiya qonuni deb ataluvchi quyidagi teoremani isbot qilamiz.

1. 
   teorema. Agar kvadratik forma ikki hil usul bilan kanonik ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsa, u holda bu kanonik ko‘rinishlarda musbat, manfiy va nolga teng koeffitsientlarning soni ikkala holatda ham bir hil bo‘ladi.
   

Dastlab quyidagi lemmani isbot qilamiz.

2. 
   lemma. n o‘lchamli V fazoda mos tartibda k va l o‘lchamli ikkita V va V₂ qism fazolar berilgan bo‘lib, k +1 > n bo‘lsin. U holda bu qism fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo‘lgan noldan farqli x vektor mavjud.
   

181

Isbot. Berilgan V va V₂ qism fazolarda mos ravishda e, e,. ., % va f₁, f₂,..., f bazislar olaylik. к +1 > n ekanligi uchun e, e₂,..., e_t, f, f₂,..., f vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Demak, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan \, A,..., A, 2, 2,. ., 2 sonlari topilib,

^Ai^ei + ^2^e2 + ... + A^ek + 2^f1 + ²2^f2 + ... + ft^fl = ⁰
ya’ni
A^ei +^2^e2 + ... + A^ek = ^-2^{f -}2^f2 ^- ... ^-2^f.
Agar
^x = A^ei +^2^e2 + ... + ^k^ek = ^-2^{f -}2^f2 ^- ... ^-2^f
deb faraz qilsak, x vektor bir tomondan e, e₂,..., e_t vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, ikkinchi tomondan esa fi, f₂,..., f vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishini ko‘rishimiz mumkin. Demak, x vektor V va V qism-fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo‘ladi.
Endi ushbu x vektorni noldan farqli ekanligini ko‘rsatamiz. Agar x = 0 bo‘lsa,
\^ei + ^2^e2 +... + \^e_k = ^0, 2^fi + ²2^f2 +... + 2fi = ⁰. e, e₂,..., e va f, f₂,..., f vektorlar sistemalari mos ravishda V
va V qism fazolaming bazislari bo‘lganligi uchun, bu vektorlar
sistemalari chiziqli erkli. Bundan esa \=A₂ =... = \ = 0 va
22=2= .. = 2 = 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa \,\,...,\,
2,2 ,..,2 sonlarining kamida bittasi noldan farqli ekanligiga ziddir.
Demak, x * 0.
Endi 27.1-teoremaning isbotiga o‘tamiz. Aytaylik, A(x,x) kvadratik forma e , e , ... , e bazisda
^A(x, ^x) = 0i² + ^ + ... + ~ ^1+1 ~ ^1+2 ~ ... ^_ %1+q ⁽²⁷.²⁾
ko‘rinishga, f, f₂,..., f_n bazisda esa
^A(x,x) = n1 + П² +... + np -np+x -Пр+г ^-... -nl+q' ⁽²⁷.³⁾

ko‘rinishga ega bo‘lsin, bu yerda £, £, •••, £ va r, r₂, •••, r„ lar mos ravishda x vektorning e, e, •••, e va f, f₂, •••, f_n bazislardagi koordinatalari.

p = p' va q = q' ekanligini isbot qilishimiz kerak. Faraz qilaylik, p > p ' bo‘lsin.