Algebra va sonlar nazariyasi

^A(x ^x) = —'i**² + n**² + У a*
a_u a₂2 J} ^{j j}
ko‘rinishga keladi. Bu jarayonni davom ettirib, o‘zgaruvchilarni bir necha bor almashtirgandan keyin ^, . ., %_n o‘zgaruvchilarga ega bo‘lamiz. Ya’ni, A(x,x) kvadratik forma bu o‘zgaruvchilar orqali quyidagicha ifodalanadi:
A(x, x) = Ai^i² + 4£² +... + X_m?_m,
bu yerda m < n.
Ravshanki, m < n bo‘lgan holda A_m+l=... = \ = 0 deb faraz qilish mumkin. □
Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirishning yuqoridagi teorema isbotida bayon qilingan usuli Lagranj usuli deb ataladi.
Misol 26.1. Bizga uch o‘lchamli fazodagi biror f,f,f bazisda
A(x, x) = 2" + 4" - ' - 8'Г kvadratik forma berilgan bo‘lsin.
' = , Г = ' almashtirish bajarsak, u holda
A(x, x) = (' )² + 2п1п2 + 4'2n3 - 8('})².
So‘ngra ' = -' + ', '2 = =' almashtirish qilib,
kvadratik forma uchun yangi ifoda hosil qilamiz:
A(x, x) = -(')² + )² + 4" - 8(n2)².
Shunday qilib, ^ , £2 = '* + , Оз ='з almashtirish kvadratik formani A(x, x) = -^² +^² -12^₃² kanonik shaklga keltiradi..
Ta’kidlash joizki, kvadratik formani Lagranj usuli bilan kanonik ko‘rinishiga keltirishda qo‘llaniladigan ', ,..., '* koordinatalar ', ',.,' orqali, o‘z navbatida '**,'*,...,'* koordinatalar esa ', ,..., va shu tarzda oxirgi ^,. ., ^ koordinatalar o‘zidan oldingi koordinatalar orqali ifodalanadi. Bundan foydalanib,


173

£, £,•••, £ koordinatalarni dastlabki л,Л₂, •••, Л„ koordinatalar orqali ifodalash mumkin:

^£1 = СцЛх + ^С2,1Л2 + ••• + СщЛп^,
£2= СЛ + ^С2,2Л2 + ••• + ^Сп,2Лп <sup>,


£</sup>n = ^С-Л + ^С2,пЛ2 + ••• + ^Сп,пЛп •
Koordinatalarni almashtirish matritsasi bazis almashtirish matritsasi teskarisining transponirlanganiga teng bo‘lishini hisobga olib, yangi e, e, •••, e bazis vektorlarini eski f, f ,•••, f bazis vektorlari orqali ifodalashimiz mumkin, ya’ni
^ei = ^d1,1^f + ^d2,1^f2 + ••• + ^dn,1^fn, ^e2 = ^d1,2^f + ^d2,2^f2 + ••• + ^dn,2^fn ,


e — d f + d, f> + ••• + d f •
n 1,n^ 1 2,nJ 2 n,nJ n
Agar kvadratik formani kanonik shaklga keltirish jarayonida ikki koordinatani birdaniga o‘zgartiradigan almashtirishni bajarishga to‘g‘ri kelmasa, u holda almashtirish formulalarining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
^£ = ^с1,л + ед+•••+Wn^,
£2= ^С2,2Л2 + ••• + ^Сп,2Лп ^,


£ = c л
z>n n,n in
ya’ni almashtirish matritsasi uchburchak ko‘rinishiga keladi. U holda bazisni almashtirish matritsasi ham
^ei = ^di,i^f, ^e2 = ^d1,2^f + ^d2,2^f2,


e — d f + d~ f~ + ••• + d f
n \,nJ 1 2,n^ 2 n,nJ n
ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirishning yana bir usulini keltiramiz. Avvalgi usuldan farqli ravishda bu usul

izlanayotgan e, e, -., e bazisni to‘g‘ridan-to‘g‘ri boshlang‘ich bazis orqali ifodasini beradi.

Aytaylik,


A =


fa, a,. ... a, ^
1,1 1,2 1,n


_y a , a ~ ... a
у n,1 n,2 n,n у


matritsa A(x, x) kvadratik formaning f , f , ... , f bazisdagi matritsasi bo‘lsin. Ushbu matritsaning quyidagi bosh minorlarini qaraymiz:


^A1 = ^ai 1; ^A 2 =


A =

3. 
   teorema. Aytaylik, A( x, x) kvadratik formaning f, f₂,..., f bazisdagi matritsasi A = (q. .) bo‘lsin. Agar A matritsaning A, A,..., A bosh minorlari noldan farqli bo‘lsa, u holda shunday e, e,-., e bazis mavjudki, bu bazisda A(x,x) forma kanonik ko‘rinishga kelib, uning kanonik ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
   

A( x, x) = ±- E² + ^A £ +... + ^A-L £,
^A1 ^A2 ^An
bunda E lar x vektorning e, e,..., e bazisdagi koordinatalari.
Isbot. Teorema shartiga asosan A(x, x) kvadratik forma
/^{, f}2^, ...^, fn ^bazisda
n
^A( x ^x) = У a да-
i J⁼¹
ko‘rinishga ega, bu yerda a,. . = A(f, f).
Bizning maqsadimiz e, e,-., e vektorlarni A(e, e ) = 0, i Ф j shartni qanoatlantiradigan qilib tanlashdan iborat. Bu bazislarni


^a1,1 ^a1,2


a


1,n


aa


a


2,n


a , a . ... a
n,1 n,2 n,n


175

^e1 = ^ai-^fi,

e₂ = a₂₁ f + a₂₂f₂,

1. 
   ^2, (26.2)
   

^en = «n,i^f + «n,2^f2 + ••• + «n,n^fn
ko‘rinishida izlaymiz.
a,.. koeffitsientlarni e, e, •••, e bazis elementlari o‘rniga
ularning (26.2) tenglikdagi ifodalarini A(e_t, e_j ) = 0 shartlarga qo‘yish
yo‘li bilan ham topish mumkin. Ammo bu usul hisoblash uchun noqulay bo‘lib, bunda a_tj koeffitsientlarga nisbatan 2-darajali
tenglamalar sistemasini yechishga to‘gri keladi.
Shuning uchun hisoblashni birmuncha yengillashtiradigan boshqa yo‘lni tanlaymiz.
Ta’kidlash joizki, A(e_k,f) = 0, 1 < i < k -1 tengliklardan A(e_k,e ) = 0, 1 < i < k -1 tengliklar kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar e_i o‘rniga a_iTf +a_i2f₂ + ••• + a_iif_i ifodani qo‘ysak,
^A(ek^,ei⁾ = ^A(ek ^,af + a, 2^f2 + ••• + ^arf⁾ =
= a,1^A(ek ^,fl) + ^ar,2^A(ek ^,f2⁾ + ••• + ^arA^ek^{,f )} = ⁰
bo‘ladi.
Demak, ixtiyoriy k va i < k uchun A(e_k,f) = 0 bo‘lsa, u holda A(e, e_t ) = 0 bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, qaralayotgan masala ^ek = ^ak-^fi +^ak,2^f2 + ••• + ^akk^fk munosabatdagi a-^{, a}k,2^, •^{, a}k,k koef- fitsientlarni
A(ek, f ) = 0, 1 < i < k -1 (26.5)
shartlarni qanoatlantiradigan qilib tanlash masalasiga keltirildi.
Agar e_k vektor yuqoridagi shartlar bilan bir qatorda quyidagi
A(ek ,f_k ) = 1 (26.6)
shartni qanotlantiradigan qilib izlansa, u holda u bir qiymatli aniqlanadi.

	A(fi, fi)	A(fi, f2) .	. A(fi, fk)		^a1,1 ^a1,2 ^.	. ^ai,k
A к =	Af fi)	Af f2) .	. Af fk)	=	^a2,1 ^a2,2 .	. ^a2,k
	Af, fi)	A(fk, f2) .	. Af, fk)		^a	. ^ak,k

ko‘rinishida bo‘lib, bu determinantning qiymati noldan farqli. Shuning uchun (26.7) sistema yagona yechimga ega. Demak, yuqoridagi tenglikni qanoatlantiruvchi «_ki koeffitsientlar mavjud va yagondir. Bundan esa e_t vektor yagona ravishda aniqlanishi kelib chiqadi. Endi A(x, x) kvadratik formaning e, e, . ., e bazisdagi b_ik koeffitsientlarini topamiz.
Ma’lumki, b_ik = A(e_t,e) bo‘lib, bu bazisning qurilishiga ko‘ra,
^A(ei^{, e}k) = ^{0, k} *^i, y^a’^{ni b},k =⁰. ^{Demak, b}kк = ^A(ek^,ek⁾
koeffitsientlarni aniqlash kifoya. (26.5) va (26.6) shartlarning bajarilishidan foydalanib,
^A(ek^{, e}k ⁾ = ^A(ek ^,ak,1^f1 + «k,2^f2 + ... + «к ,k^fk ⁾ =
= «k,1^A(ek ^,fi) + «к ,2 ^A(ek ^,f>) + ... + «k,k^A(ek ^,fk ⁾ = «кк ya’ni Ь_кк = «_кк ekanligini hosil qilamiz. Bu esa b_!jt koeffitsientlarni
aniqlash uchun (26.7) tenglamalar sistemasidan faqat «_{к к} noma’lumni aniqlash kifoya ekanligini bildiradi.


177