Algebra va sonlar nazariyasi

£n = ^an,1^£1 + ^an,2^£2 + ". + ^an,n^£n .
Demak, berilgan x vektorning koordinatalari orasida quyidagi munosabat o‘rinli:


145

^л		,n а1^, ,2 а1^, а1^,	-1	О
0	=	^n, 2, а^2 ,2 2^, а^2 2, а2		0
О J		a , a . ... a \ n,1 n,2 n,n J		V^0J

hosil bo‘ladi.
Shunday qilib, x vektorning ikkinchi bazisdagi koordinatalari, birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi teskarisi bilan birinchi bazisdagi koordinatalari ko‘paytmasiga teng.

21. 
    - §. Chiziqli fazoning qism fazosi
    

Bizga К maydon ustida aniqlangan V chiziqli fazo va unda

• 
  с V qism to‘plam berilgan bo‘lsin.
  

1. 
   ta’rif. V qism to‘plam V fazoda aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil etsa, V to‘plam V fazoning qism fazosi deyiladi.
   

Tabiiyki, V с V qism to‘plamni qism fazoga tekshirish uchun fazoda berilgan shartlarni hammasini tekshirish lozim bo‘ladi, ammo quyida keltiriladigan teorema bu shartlarning hammasini tekshirish umuman olganda zarur emasligini ko‘rsatadi.

2. 
   teorema. V с V qism to‘plam V fazoning qism fazosi bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:
   

1. 
   Ixtiyoriy x, у g V_l elementlar uchun x + у e \\:
   
2. 
   Ixtiyoriy x e V_x, A £ К uchun Ax e V_v
   

Isbot: Agar V qism fazo bo‘lsa, teoremadagi shartlar o‘rinli bo‘lishi to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.

Aksincha, ya’ni teoremadagi shartlar o‘rinli bo‘lsin. U holda V с V qism to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan kommutativlik va assosiativlik shartlari o‘rinli bo‘ladi. Aks holda, bu shartlar V fazoda ham o‘rinli bo‘lmas edi.
4x e V ekanligidan 4 = 0 deb olsak, 0 x = 0 e V ekanligini,

2. 
   = -1 deb olsak, -x e V ni hosil qilamiz.
   

Xuddi shunday fazoda skalyarlar uchun keltirilgan shartning V qism to‘plam uchun ham o‘rinliligini ko‘rish qiyin emas. □

3. 
   natija. V_t cz V qism fazo bo‘lishi uchun ixtiyoriy x,y e l\ va ixtiyoriy uchun Ax + /llv e V_t bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Endi qism fazolarga doir misollarni keltirib o‘tamiz.
Misol 23.1 a) Faqat nol vektordan iborat bo‘lgan qism to‘plam va V fazoning o‘zi V da qism fazo bo‘ladi. Bu qism fazolar V ning xosmas qism fazolari deyiladi;

2. 
   M² tekislikda koordinata boshidan o‘tuvchi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqdagi vektorlar to ‘plami qism fazo tashkil etadi;
   
3. 
   M³ uch o‘lchamli fazoda koordinata boshidan o‘tuvchi ixtiyoriy tekislikda joylashgan vektorlar to‘plami qism fazo tashkil qiladi;
   
4. 
   Darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosi p(x) da darajasi k(k < n) dan oshmaydigan ko‘phadlar to‘plami p (x) qism fazo tashkil qiladi;
   

Yuqoridagi misollardan ko‘rinib turibdiki, biror fazoning qism fazolari cheksiz ko‘p bo‘lishi mumkin.

• 
  fazoning ixtiyoriy M qism to‘plami uchun, M dan olingan vektorlarning chiziqli kombinatsiyalari orqali hosil qilingan barcha vektorlar to‘plamini {M) kabi belgilaymiz. Hosil bo‘lgan to‘plamga M to‘plamning chiziqli qobig‘i deyiladi.
  

147

Ravshanki, M to‘plamning chiziqli qobig‘i V fazoning qism fazosi bo‘ladi. (M) fazoning o‘lchami M to‘plamning rangi deb ataladi.

Yuqoridagi mulohazadan kelib chiqadiki, agar dimV = n bo‘lsa, u holda V fazo m(m < n) o‘lchamli qism fazolarga ega. Xususan, agarda V fazoning e, e,—, e bazis vektorlaridan tuzilgan M = {e, e,. ., } qism to‘plam uchun, (M) = (e_x, e₂,..., ) chiziqli qobiqni qarasak, u m o‘lchamli qism fazo bo‘ladi.
Bundan tashqari V chiziqli fazonining o‘zini e, e,..., e bazis vektorlaridan tuzilgan qobiq deb qarashimiz mumkin.

4. 
   ta’rif. Bizga V fazoning qandaydir V' qism fazosi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy a gV vektor uchun, ushbu
   

V_a = a + V' = {a + x | x gV '} с V qism to‘plamga V' qism fazoni a vektorga siljitishdan hosil bo‘lgan gipertekisligi deb ataladi.
Aytaylik, L₁,L₂<^V qism fazolar berilgan bo‘lib, ЦГ\Ь₂ ulaming to‘plam ma’nosidagi kesishmasi bo‘lsin. Ravshanki, Л, П f ₂ qism to‘plam bo‘sh emas, chunki nol vektor har bir qism fazoga tegishli.

5. 
   teorema. Ц, L₂ qism fazolaming kesishmasi 1_Л П /- qism fazo bo‘ladi.
   

Isbot. Ixtiyoriy sonlar va x,y еЦГ\Ь₂ vektorlami olaylik. Ma’lumki, x,y g Ц va x,y g Z₂. Ц va Z₂ qism fazo bo‘lganligi uchun Лх + /лу g Zj va Ax + цу g L₂. Demak, Ax + цу g Ц П L₂ bo‘ladi.
□
Endi qism fazolaming to‘plam sifatida birlashmasi /., U f ₂ ni qaraymiz. Bu to‘plam xar doim ham qism fazo bo‘lavermaydi. Masalan, tekislikda L sifatida OX o‘qida yotuvchi vektorlar to‘plamini, Z₂ sifatida OY o‘qida yotuvchi vektorlar to‘plamini olsak,

L va Z₂ qism fazolar bo‘lib, ularning birlashmasi qism fazo bo‘lmaydi.

Endi qism fazolarning yig‘indisi tushunchasini kiritamiz. Ц, L₂ qism fazolarning yig‘indisi deb x = x + x₂, x e L, x₂ e L ko‘rinishidagi vektorlar to‘plamiga aytiladi va L + L₂ kabi belgilanadi, ya’ni
L + L₂ = {x + x₂1 x e L, x₂ e L₂}.

6. 
   teorema. L,L qism fazolarning yig‘indisi L + L yana qism fazo bo‘ladi.
   

Isbot. Haqiqatan ham, agar ixtiyoriy Л, /.i e К va x,y ₁+L₂ bo‘lsa, u holda x = x + x₂, у = у + у, x,у e Ц, x₂,у e Z₂ bo‘lib, bundan
4x + /иу = 4(x + x^) + ^(y + У2) = +МУ1) + (4x2 + МУ2) e L + L2 ekanligi kelib chiqadi. □
Endi qism fazolar kesishmasi va yig‘indisini o‘lchamlari orasidagi munosabatni beruvchi teoremani keltiramiz.

7. 
   teorema. V fazoning chekli o‘lchamli L, Z₂ qism fazolarining o‘lchamlari yig‘indisi ularning kesishmasi va yig‘indisi o‘lchamlarining yig‘indisigatengdir, ya’ni
   

dimZj + dimZ₂ = dimZj П L₂+ dim(Zj + L₂).