Algebra va sonlar nazariyasi

Z ^(ai,l + ^bi! ^)cU =Z ^(a>M^CI.i + ⁾ = Z +^L^bifuj
1=1 1=1 1=1 1=1
tenglikning chap tomoni (A + B) • С matritsaning i - satri va j - ustunida turgan elementini, o‘ng tomoni esa A • С + B • С matritsalaming xuddi shu yerda turuvchi elementini ifodalaydi. □
Shuningdek, A_mn(¥L), B,C_ns(K) matritsalar uchun A • (B + C) = A • B + A • С tenglikning o‘rinli ekanligi ham yuqoridagi yo‘l bilan ko‘rsatiladi.

6. 
   ta’rif. Bosh diagonali elementlari 1 ga teng bo‘lib, qolgan barcha elementlari 0 ga teng bo‘lgan n -tartibli kvadratik matritsa birlik matritsa deyiladi va birlik matritsa E kabi belgilanadi, ya’ni
   

(1 0 ... 0 ^

1. 
   1 ... 0
   

E =
yO 0 ... l_y
Ma’lumki, ixtiyoriy А<еМ_п(Ш) uchun A-E = E- A = A munosabat o‘rinli.

10. 
    ta’rif. Agar А<еМ_п(Ш) matritsa uchun 3ВеМДК) matritsa topilib, A • B = B • A = E tenglik bajarilsa, B matritsa A matritsaning teskarisi deyiladi, A matritsa esa teskarilanuvchi matritsa deyiladi.
    

43

Teskarilanuvchi A matritsaning teskarisi A^- kabi belgilanadi. Matritsaning teskarilanuvchanlik sharti va teskarisini topish usulini keyingi mavzularda keltiramiz.

9. 
   - §. Determinant va uning xossalari
   

Bizga A eMJЖ) kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin:


A =


a , a . ... a
V n,1 n,2 n,n j


(9.1)


bu yerda К = К yoki С.
Bu matritsaning ixtiyoriy satr va ustunidan bittadan olingan n ta elementlarining ko‘paytmasini qaraymiz:
a •a •... •a .
1,a 2,a₂ n,an
Ko‘paytmaning ko‘paytuvchilaridagi indekslaridan


(1


а=


va a


n
а


o‘rniga qo‘yishni tuzib olamiz.
Demak, har bir ko‘paytuvchiga bitta o‘rniga qo‘yishni mos qo‘yish mumkin. Aksincha, har bir n -tartibli o‘rniga qo‘yishga matritsadan yuqoridagi kabi olingan ko‘paytmani mos qilib qo‘yishimiz mumkin.
Ko‘paytmaning ishorasini o‘rniga qo‘yishni signaturasi bilan aniqlaymiz, ya’ni
sgn(a) = (-1)™^a.
Quyidagi ko‘paytmani hosil qilamiz:


^sgii^(a)-^a1„ •a


a '2,a₁


•...• a„


Hamma o‘rniga qo‘yishlar soni n! bo‘lganligi uchun, tuzilgan ko‘paytmalar soni ham n! ta bo‘ladi. Bu elementlarning

Z ^sg^n(a) • ^ai^- a,*₂ • ••• • a

(9.2)


yig‘indisini qaraymiz.

1. 
   ta’rif. Yuqorida hosil bo‘lgan (9.2) yig‘indiga berilgan n - tartibli A kvadrat matritsaning determinanti deyiladi. Determinant odatda det A yoki | A | kabi belgilanadi.
   

Shunday qilib, determinantni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:


A =


= Z ^s^(^a)^aio


• a_n


• ••• • a„


(9.3)


Agar (9.3) ifodada n = 1,2,3 deb olsak, mos ravishda quyidagi ifodalarni olamiz:

1. 
   , a,,
   

det(an) = a_n,


^a11^a22^a33 ^{+ a}12^a23^a31 ^{+ a}13^a21^a32 ^a13^a22^a31 ^a\22\33 ^all^a23^a32•
Masalan, uchinchi tartibli determinantning to‘rtinchi ko‘payt-
Г1 2 3 ^


masini olsak, unga

2. 
   2 1
   

v ^{3 2 1}У


uchinchi tartibli o‘rniga qo‘yish mos


qo‘yilgan bo‘lib, bu o‘rniga qo‘yishning inversiyasi 3 ga teng. Shuning uchun ko‘paytma manfiy ishora bilan ishtirok etadi.


Misol 9.1. a)


4 2 -3 5


= 4 • 5 - 2 • (-3) = 20 + 6 = 26;


^a11 ^a12


a


1 n


aa


a


2 n


^an1 ^a_n 2


^a11 ^a12 ^a13


a₂₁ a₂₂ a₂₃


^a31 ^a32 ^a33


45

	(1	2 .	.. n ^		( a	a .	. a Л
a =				dan a ^1 =	1 1^1	2	n
	a	a .	.. ^an J			2 .	. ^n J

Chunki, A determinantdagi ^^•a₂ •... • a_nc^ element A^T de- terminantda •a^ •... a kabi o‘rinda keladi. sgn(a) = sgn(a') ekanligidan, hosil bo‘lgan ko‘paytmalarning ishoralari ham bir hil bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, A^T matritsaning determinanti A matritsaning determinantiga teng ekan.
Ushbu xossadan determinantning satrlari uchun o‘rinli bo‘ladigan barcha xossalari ustunlari uchun ham o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun determinantning qolgan xossalarini faqat satrlar uchun keltirish kifoya.
Quyidagi ikkita xossa determinantning istalgan satrlari bo‘yicha chiziqli ekanligini anglatadi.

2. 
   xossa. Agar determinantning biror satri ikkita qo‘shiluvchilardan iborat bo‘lsa, u holda bu determinant satrlari shu qo‘shiluvchilardan iborat bo‘lgan ikkita determinantning yig‘indisidan iborat bo‘ladi, ya’ni:
   

	^a1,1 .	.. ^a1,n		^a1,1 ..	. ^a1,n
A =	^ka,1 .	... ^ka,,n	= k	^a,,1 .	.. ^a,,n
	^a1,n	^... an,n		a1,n ^..	^.. an,n

Isbot. Haqiqatan,


A=Z sgn(s)• a •...• ka. •...• a =
o v / 1,s1 г ,a n,an


a


1,n


^an,n ^an1


a


n,1


n,n


47

^a1,1 .	.. a, 1,n		^a1'1 ^.	.. a, 1'n
^ai,1 .	.. a. i ,n		^aj'1 ^.	.. a. j'n
^aj'1 ^.	.. a. j^,n		^ai'1 ^.	.. a. i'n
^an'1 ^.	.. a n,n		sc a	.. a n'n

Isbot. Agar birinchi determinantning umumiy hadi aч • ■■■ • a_iai •...• a_Ja •...• a_na bo‘lsa, satrlarni almashtirishdan so‘ng
hosil bo‘lgan determinantning umumiy hadi
a •... • a •... • a • ...• a
”,Ol J,«j i,« n,«n
bo‘ladi. Bu hadlarga mos keluvchi o‘miga qo‘yishlar esa,


r 1