Determinantning xossalari Reja

Determinantning xossalari
Reja

1. 
   Determinantning asosiy xossalari
   
2. 
   Minor va algebraic toldiruvchi tushunchalari
   
3. 
   Laplas teoremasi
   

6-xossa. Determinantda ikkita satr (ustun) oʻrinlari almashtirilsa, determinantning ishorasi oʻzgaradi. Masalan,

Endi bu matritsada birinchi va uchinchi ustunlarining oʻrinlarini almashtiramiz, u holda

Bundan koʻrinib turibdiki, determinantlar faqat ishorasi bilan farq qiladi.
7-xossa. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun)ga ega boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi. Masalan,

8-xossa. Agar determinantning biror satri (yoki ustuni) elementlariga boshqa satr (ustun)ning mos elementlarini biror songa koʻpaytirib qoʻshilsa, determinantning qiymati oʻzgarmaydi.

Masalan,

Haqiqatan ham, tenglikning chap tarafi

tenglikning oʻng tarafi:

Demak tenglik oʻrinli.
9-xossa. Agar determinant ikki satri (ustuni)ning mos elementlari proporsional boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi, ya’ni

Masalan,
10-xossa. Transponirlash natijasida determinantning qiymati oʻzgarmaydi. Masalan,

11-xossa. Agar determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikki qoʻshiluvchi yigʻindisidan iborat boʻlsa, u holda determinant ikki determinant yigʻindisiga teng boʻlib, ulardan birining tegishli satri (ustuni) birinchi qoʻshiluvchilaridan, ikkinchisining tegishli satri (ustuni) ikkinchi qoʻshiluvchilaridan iborat boʻladi, ya’ni:


12-xossa. Agar determinant satr (ustun)laridan biri uning qolgan satr (ustun) larining chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlsa, determinant nolga teng. Masalan,

13-xossa. Toq tartibli har qanday qiya simmetrik matritsaning determinanti nolga teng. Masalan,
14-xossa. Bir xil tartibli ikkita matritsalar koʻpaytmasining determinanti, bu matritsalar determinantlarining koʻpaytmasiga teng, ya’ni:

Bizga tartibli kvadrat matritsa berilgan boʻlsin.
5-ta’rif. tartibli kvadrat matritsaning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ta satrlari va ta ustunlari kesishgan joyda turgan elementlardan tashkil topgan tartibli matritsaning determinanti determinantning tartibli minori deb ataladi.
tartibli minor sifatida kvadrat matritsaning ta satr va ta ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan determinant, deb ham qarash mumkin.
6-ta’rif. Matritsaning diagonal elementlari yordamida hosil boʻlgan minorlar bosh minorlar deb ataladi.
7-ta’rif. tartibli kvadrat matritsada tartibli minor turgan satrlar va ustunlar oʻchirib tashlangandan soʻng qolgan tartibli minorga minorning toʻldiruvchisi deyiladi va aksincha.
minor va uning toʻldiruvchi minorini sxematik ravishda quyidagicha tasvirlash mumkin:
.
Shunday qilib, determinantning oʻzaro toʻldiruvchi minorlar jufti haqida gapirish mumkin. Xususiy holda, element va determinantning satri va ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan tartibli minor oʻzaro toʻldiruvchi minorlar juftini hosil qiladi.
8-ta’rif. elementning toʻldiruvchisi minori deb element turgan satr va ustunni ochirishdan hosil boʻlgan determinantga aytiladi va deb belgilanadi.
9-ta’rif. minorning (elementning) algebraik toʻldiruvchisi deb songa aytiladi.
Laplas teoremasi. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satr (ustun) elementlari bilan, shu elementlarga mos algebraik toʻldiruvchilar koʻpaytmalari yigʻindisiga teng, ya’ni:

Bu formulaga determinantni satr elementlari boʻyicha yoyish formulasi deyiladi.
Determinantning biror satr (ustun) elementlari bilan uning boshqa satri (ustuni) elementlari algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisi nolga teng.
4-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
Yechilishi. ► Berilgan determinantni birinchi satr elementlari boʻyicha yoysak

◄
Misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
.
Yechilishi. ► Berilgan determinantni ikkinchi ustun elementlari boʻyicha yoyib chiqamiz. Bu ustunda 2 ta noldan farqli element boʻlgani uchun natijada 2 ta 3-tartibli determinant hosil boʻladi.

Yoki avval elementni nolga keltirishimiz mumkin. Buning uchun 2-satrni 2 ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshamiz va hosil boʻlgan determinantni 2-ustun elementlariga nisbatan yoyamiz va hisoblaymiz:
◄
Koʻrinib turibdiki, Laplas teoremasidan yuqorida keltirilgan xossalar bilan birgalikda foydalanish determinantni hisoblashni ancha osonlashtiradi. Buning uchun biror satr yoki ustunni tanlab olib, shu ustun yoki satrdagi elementlarni determinantning xossalaridan foydalanib iloji boricha nollarga keltirishimiz kerak boʻladi. Soʻngra, Laplas teoremasi yordamida determinantning tartibini bittaga kamaytirishimiz mumkin.