Algebra va sonlar nazariyasi

1,a₁ 2,02 n,On

determinantning ixtiyoriy hadi bo‘lsin. Bu ko‘paytmadan tanlab olingan i, i₂,•••, 4 satrlarga tegishli bo‘lgan elementlarning ko‘paytmasini olamiz:

a. • a. • ••• • a. .
ⁱL^,ai_l ⁱ2^,ai₂ ^,aik


Bu ko‘paytma i, 4, •••, 4 satrlar va a., a^, •••, a ustunlarning kesishmasida turuvchi k -tartibli M minorning umumiy hadi bo‘lib, olinmay qolgan ko‘paytuvchilar (n - k) -tartibli M to‘ldiruvchi minorning umumiy hadi bo‘ladi.
Shunday qilib, determinantning xar qanday hadi tanlab olingan satrlar bo‘yicha M minor bilan to‘ldiruvchi M minorining tarkibiga kiradi. Determinantda bo‘lgan hadni hosil qilish uchun esa, to‘ldiruvchi minorni algebraik to‘ldiruvchi bilan almashtirish kifoya.
Endi biz (11.2) tenglikning o‘ng tomonidagi hadlar soni chap tomonida hadlar soniga teng ekanligini ko‘rsatamiz. Bizga ma’lumki, M_t minorda k! ta had bo‘lib, A algebraik to‘ldiruvchida esa (n - k)! ta had mavjud. Demak, MA ko‘paytmada k!(n -k)! ta had ishtirok etadi. Ma’lumki, tanlab olingan к ta satrdan hosil qilinadikan barcha k- tartibli minorlar soni n ta sondan k ta sonni tanlab olishlar soniga, ya’ni C^j ga teng. Demak, o‘ng tomondagi barcha hadlar soni
n!
C^j • k!• (n-k)! = —-—^!—— • k!• (n -k)! = n! ^{n ( }} k!(n - k)! ^{( }}
ga teng. Bu esa chap tomondagi hadlar soni bilan o‘ng tomondagi
hadlar soni teng ekanligini bildiradi. Chunki, «-tartibli
determinantning n! ta hadi mavjud. Demak, biz determinantning
barcha hadi o‘ng tomonda ham aynan bir marotaba ishtirok etishini
ko‘rsatdik.
Misol 11.2. Ushbu 4-tartibli determinantni Laplas teoremasidan foydalanib hisoblang:


61

-1		0		2 -
1		0		1
-1		0		5
1		0		2
0		0		4
0		0		l ^4
2		5		3
3		2		-5

+ (-1У+М+³
+ (-1)¹+³+²+³.


-1 2

1. 
   3
   

0 2
0 3

2. 
   0
   3 0
   

5 3
2 -5
4 3
-4 -5
4 5
-4 2


+


+


+ (-1y+³+³+⁴.
= (-3 - 2) - (-25 - 6) = -5- (-31) = 155.


Yuqoridagi misoldan ko‘rinib turibdiki, Laplas teoremasini qo‘llashda tarkibida nol ishtirok etgan satr yoki ustunlarni tanlab olish, hisob kitoblarni ancha yengillashtiradi. Demak, determinantda yetarlicha nollar ishtirok etgan holda, aynan noli ko‘p satrlar uchun Laplas teoremasini qo‘llash orqali determinantni tez va oson hisoblash mumkin.

12. 
    - §. Teskari matritsa va determinantning qo‘shimcha xossalari
    

Ushbu paragrafda biz n -tartibli matritsaning determinanti bilan bog‘liq masalalar bilan shug‘ullanamiz.

«1,1	«1,2 ■	• «1	0	0 .	. 0
«2,1	«2,2 '	• «2 ,„	0	0 .	. 0
^Qn,l	«„,2 •	• «„,„	0	0 .	. 0
-1	0 .	. 0	^bu	^b\,2 •	• Kn
0	-1 .	. 0	^b2,\	b22	■ Kn
0	0 .	. -1	Кг	b , . n, 2	. b n,n

Laplas teoremasiga ko‘ra
A = det(A) ■ det(B). (12.1)
Ikkinchi tomondan A determinantni determinant xossalaridan foydalanib hisoblaymiz. Buning uchun A determinantni 1,2,...,и ustunlarini mos ravishda b_u, b_2l,..., b_nl larga ko‘paytirib, (n +1)-ustuniga qo‘shamiz, so‘ngra b_l2, b₂₂,..b_n2 larga ko‘paytirib, {n + 2) -ustuniga qo ‘ shamiz va hokazo, b_x b₂ b_{n n} larga ko‘paytirib, 2n -ustuniga qo‘shamiz. Natijada, A determinantning b .


63

«1,1	«1,2 •	• «1	^cl,l	^Cl,2 •	■ ^Cl,n
«2,1	«2,2 '	• «2 ,„	^c2,l	^C2,2 '	■ ^C2,n
«»Д	«„,2 '	• ^an,n	^Cn,\	^Cn,2 '	■ ^Cn,n
-1	0 .	. 0	0	0 .	. 0
0	-1 .	. 0	0	0 .	. 0

0 0


0


-10 0
Laplas teoremasini yana bir bor qo‘llab, determinantni uning
oxirgi n ta ustuni bo‘yicha yoyamiz. | C | minor uchun to‘ldiruvchi
-1 0 ... 0


minori