Funksiya uchun qo’zgalmas nuqta bu funksiya qo'llanilganda funksiyaning qiymati o'zgarmaydigan son

Funksiya uchun qo’zgalmas nuqta - bu funksiya qo'llanilganda funksiyaning qiymati o'zgarmaydigan son.
Ta’rif 2.2 Agar bo’lsa, soni berilgan funksiya uchun qo’zgalmas nuqta deyiladi.
Ushbu bo'limda biz qo'zg'almas nuqtali masalalarning yechimlarini topish masalasini va biz hal qilmoqchi bo'lgan qo'zg'almas nuqta masalalari va ildizlar o'rtasidagi munosabatni ko'rib chiqamiz. Ildizlar va qo’zga’lmas nuqtali muammolar quyidagi ma'noda ekvivalent sinflardir:
• ildizini topish masalasini hisobga olib, qo‘zg‘almas nuqtaga ega bo‘lgan funksiyalarni bir necha usullar bilan aniqlashimiz mumkin, masalan,
yoki

• 
  Aksincha, agar funksiya nuqtada o'zgarmas nuqtaga ega bo'lsa, u holda formula bilan aniqlangan funksiya
  

da nolga teng.
Garchi biz hal qilmoqchi boʻlgan masalalar ildiz topish boʻlsa-da, qoʻzgʻalmas nuqta shaklini tahlil qilish osonroq boʻladi va qo’zg’almas nuqtaning ayrim variantlari juda kuchli ildiz topish usullariga olib keladi.
Biz birinchi navbatda ushbu yangi tipdagi masalalarni hal qilishimiz kerak va funksiya qachon aniq nuqtaga ega bo'lishi va belgilangan aniqlikka qanday qilib qo’zg’almas nuqtalarni yaqinlashishi mumkinligini hal qilishimiz kerak.
1- Misol. funksiyaning istalgan qo‘zg‘almas nuqtalarini toping.
Yechilishi. g uchun qo’zg’almas p nuqta shunday xususiyatga ega
bu ekanligini bildiradi.
ning grafigi ning grafigini kesib o'tganda uchun qo’zg’almas nuqta hosil bo'ladi, shuning uchun ikkita qo’zg’almas nuqtaga ega, biri , ikkinchisi esa . Ular quyidagi 2.3-rasmda ko'rsatilgan.
2.3-rasm.

Quyidagi teorema qo'zg'almas nuqtaning mavjudligi va yagonaligi uchun etarli shartlarni beradi.
2.3 teorema. (1) Agar barcha uchun va bo'lsa, ning [a, b] da kamida bitta qo'zg'almas nuqtasi bor.
(2) (Bunga qo’shimcha) agar da mavjud bo'lsa va ,(k < 1) tengsizkni qanoatlantiruvch barcha uchun da aynan bitta qo'zg'almas nuqta mavjud. (2.4-rasmga qarang.)

Isbot. (1) Agar yoki bo'lsa, u holda ning chegarlarida qo’zg’almas nuqtaga ega. Agar yo'q bo'lsa, va . funksiya da uzluksiz va
va .
Oraliq qiymat haqidagi teoremaga ko’ra bo’ladi. Bu soni uchun qo’zg’almas nuqtadir, chunki
bundan
ekanligini bildiradi.
(2) Faraz qilaylik, bunga qo’shimcha, va da va nuqtalar qo’zg’almas nuqtalar. Agar , o’rta qiymat haqidagi teoremaga ko’ra [a,b] oraliqda nuqta topiladiki va lar uchun bo’ladi.
Shunday qilib,

ziddiyatga duch keldik. Bu ziddiyat berilgan farazimizdan kelib chiqdi. Demak, va dagi qo’zg’almas nuqta yagonadir.