Funksiya uchun qo’zgalmas nuqta bu funksiya qo'llanilganda funksiyaning qiymati o'zgarmaydigan son

2-Misol. funksiyaning oralig‘ida yagona qo‘zg‘almas nuqtasi borligini ko‘rsating.
Yechilishi. oraliqdagi uchun ning maksimal va minimal qiymatlari intervalning chegarasida yoki hosila 0 bo‘lganda hosil bo‘lishi kerak. bo'lgani uchun g funksiya uzluksiz va da aniqlangan. ning maksimal va minimal qiymatlari , yoki da bo‘ladi. Lekin , va , shuning uchun da g(x) uchun absolyut maksimum va da, absolyut minimum esa da hosil bo'ladi.
Bundan tashqari barcha lar uchun o’rinli.
Shunday qilib, g 2.3-teoremaning barcha gipotezalarini qanoatlantiradi va da yagona qo’zg’almas nuqtaga ega.
2-misoldagi funksiya uchun oraliqdagi yagona qo’zg’almas p nuqtani algebraik usulda aniqlash mumkin. Agar
dan

bo’ladi.
Yuqoridagi kvadrat formula, 2.4-rasmning chap tarafiga mos keladi.
Izoh: chap tarafi y=x to’g’ri chiziqqa nisbatan olinadi.
Formuladan

bo’ladi.
E'tibor bering, g ning [3, 4] oralig'i uchun yagona qo'zg'almas nuqtasi ham bor. Biroq, va , shuning uchun oraliqda funksiya uchun 2.3-teoremaning shartlarini qanoatlantirmaydi. Bu shuni ko'rsatadiki, 2.3-teorema shartlari yagona qo’zg’almas nuqta uchun yetarli shart, ammo zaruriy shart emas. (2.5-rasmdagi o'ngdagi grafikga qarang.)

3-misol. funksiyaning bu oraliqda yagona qo'zg'almas nuqta mavjud bo'lsa ham, 2.3 teorema shartlarini qanoatlantirmasligini ko’rsating.
Yechilishi. da bo’lib , funksiya [0, 1] da qat’iy kamayib bormoqda. Shunday qilib
uchun
Biroq,

shuning uchun da | va 2.3 teorema yagonalik shartini qanoatlantirmaydi. Lekin har doim kamayib boradi va 2.6-rasmdan ko'rinib turibdiki, qo'zg'almas nuqta yagona bo'lishi kerak.