Funksiya uchun qo’zgalmas nuqta bu funksiya qo'llanilganda funksiyaning qiymati o'zgarmaydigan son

Teorema 2.4 (Qo’zg’almas nuqtali teorema)
va barcha lar uchun bo’lsin. Faraz qilaylik, bundan tashqari hosila mavjud va hamda barcha lar uchun

U holda kesmada har qanday soni uchun quyidagi ketma-ketlik o’rinli

[a, b] dagi yagona qo’zg’almas p nuqtaga yaqinlashadi.
Isbot. 2.3 teoremadan , da yagona p nuqta mavjudligini bildiradi. ketma-ketligi hamma va lar uchun aniqlanadi. Bundan foydalanib va 1.8 o'rta qiymat haqidagi teoremaga ko’ra har bir uchun

bizda mavjud, bu yerda . Ushbu tengsizlikni induktiv ravishda qo'llash quyidagi natijani beradi
(2.4)
bo'lgani uchun bizda va
Demak, ketma-ketlik ga yaqinlashadi.
Xulosa 2.5 Agar g 2.4 teorema shartlarini qanoatlantirsa, ni ga yaqinlashtirishda xatolik chegaralari quyidagicha aniqlanadi.
(2.5)
va barcha lar uchun
(2.6)
Isbot Chunki p ∈ [a, b], birinchi chegara (2.4) tengsizlikdan kelib chiqadi:

uchun 2.4-teoremani isbotlashda qo'llaniladigan protsedura shuni anglatadiki,
.
Shunday qilib uchun

2.3 teoremaga asosan demak,
.
Lekin ga nisbatan geometrik qator va 0 < k < 1. Bu ketma-ketlik ga yaqinlashadi, bu esa ikkinchi chegarani beradi:

Ikkala tengsizlik natijasi tezlik bilan bog’liq, bunda birinchi tartibli hosila bo'yicha k baholashga yaqinlashadi. Yaqinlashish tezligi n faktorga bog’liq. ning qiymati qanchalik kichik bo’lsa, yaqinlashish shunchalik tez bo’ladi. Agar 1 ga yaqin bo'lsa, bu juda sekin bo'lishi mumkin.