Funksiya uchun qo’zgalmas nuqta bu funksiya qo'llanilganda funksiyaning qiymati o'zgarmaydigan son

Qo’zg’almas nuqtali iteratsiya
Biz 3-misoldagi qo'zg'almas nuqtani aniq aniqlay olmaymiz, chunki tenglamadagi p ni topishning iloji yo'q. Biroq, biz har qanday aniqlik darajasida ushbu belgilangan nuqtaga yaqinliklarni aniqlashimiz mumkin. Endi buni qanday qilish mumkinligini ko'rib chiqamiz.
g funksiyaning qo'zg'almas nuqtasiga yaqinlashish uchun boshlang'ich yaqinlashuvini tanlaymiz va har bir uchun qo'yib, ketma-ketligini hosil qilamiz. Agar ketma-ketlik p ga yaqinlashsa va g uzluksiz bo’lsa, u holda

va ning yechimi olinadi. Ushbu uslub qo’zg’almas nuqta yoki funksional iteratsiya deb ataladi. Jarayon 2.7-rasmda ko'rsatilgan va 2.2-algoritmda batafsil ko'rsatilgan.

Algoritm
Qo’zgalmas nuqtali variatsiya
Dastlabki yaqinlashuvi berilgan ning yechimini topish uchun:
INPUT dastlabki taxminiy ; tolerantlik TOL; takrorlashlarning maksimal soni
OUTPUT taqribiy yechim p yoki muvaffaqiyatsizlik xabari.
Step 1 Set .
Step 2 While i ≤ N0 do Steps 3–6.
Step 3 Set p = g( p0). (pi ni hisoblash)
Step 4 If then
OUTPUT ( p); (Jarayon muvaffaqiyatli o'tdi.)
STOP.
Step 5 Set i = i + 1.
Step 6 Set . (Yangilash p₀.)
Step 7 OUTPUT (‘Usul N₀ takrorlashdan keyin muvaffaqiyatsiz tugadi, N₀ =’, N₀);
(Jarayon muvaffaqiyatsiz tugadi.)
STOP.
Quyida funksional iteratsiyaning ba'zi xususiyatlari ko'rsatilgan.
Tasvir tenglama da yagona ildizga ega. Oddiy algebraik manipulyatsiya yordamida tenglamani qo'zg'almas nuqtali ko'rinishiga o'zgartirishning ko'plab usullari mavjud. Masalan, (c) qismida tasvirlangan g funksiyani olish uchun biz tenglamani manipulyatsiya qilishimiz mumkin
quyidagicha:

Ijobiy yechim olish uchun g3(x) tanlanadi. Bu erda ko'rsatilgan funksiyalarni olish muhim emas, lekin har birining sobit nuqtasi haqiqiy yechim ekanligini tekshirishingiz kerak.
Berilgan tenglamaga
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
bilan 2.2-jadvalda g ning barcha beshta varianti uchun qo’zg’almas nuqtali iteratsiya natijalari keltirilgan.

1,365230013 haqiqiy ildiz 2.1-bo'limning 1-misolida ta'kidlanganidek, natijalarni ushbu misolda keltirilgan Biseksiya algoritmi bilan solishtirsak, (c), (d) va (e) variantlari bo'yicha ajoyib natijalarga erishilganligini ko'rish mumkin (Biseksiya usuli bu aniqlik uchun 27 ta takrorlashni talab qiladi). Qizig'i shundaki, tanlov (a) divergent edi va (b) noaniq bo'lib qoldi, chunki u manfiy sonning kvadrat ildizini o'z ichiga oladi.

Garchi biz bergan turli funksiyalar bir xil ildiz topish masalasi uchun aniq nuqtali masalalar bo'lsa-da, ular ildizni topish masalasining yechimini yaqinlashtirish usullari sifatida juda farq qiladi. Ularning maqsadi nimaga javob berish kerakligini ko'rsatishdir:

• 
  Savol: Ildiz topish bo‘yicha berilgan masalaning yechimiga ishonchli va tez yaqinlashuvchi ketma-ketlikni hosil qiluvchi qo’zg’almas nuqtali masalani qanday yechish mumkin?
  

Quyidagi teorema va uning xulosasi bizga qanday yo'l tutishimiz kerakligi haqida ba'zi maslahatlar beradi va ehtimol, bundan ham muhimi rad etadi