Численные методы линейной алгебры

4.7. Обобщенная задача на собственные значения

Обобщенная задача на собственные значения [13] очень важна для приложений. Эта задача задается уравнением

Ах=Вх. (4.40)
Если матрица В положительно определена, то для задачи (4.40) справедливы:

1. 
   Все её собственные значения вещественны;
   
2. 
   Собственные значения имеют тот же знак, что и собственные значения задачи Ах=х.
   

4.7.1. Обобщенный метод Якоби

Метод предназначен для решения задачи (4.40). Очевидно, что обобщенная задача на собственные значения (4.40) эквивалентна для любой невырожденной матрицы Т задачи: TАT^Ty=TВT^Ty ,

причем новая задача сохраняет свойства исходных матриц А и В такие как симметричность и положительная определенность. В качестве матрицы Т выбираются:
i j
T_ij(k)= , (iВидно, что элементы на месте (i, j) у матриц T_ij(k)А (k) и T_ij(k)В (k) определяются по формулам:


Обобщенный метод Якоби для задачи (4.40) состоит в последовательном применении конгруэнтных преобразований матриц А и В с помощью матриц T_ij(k) таких, что на каждом шаге , . В качестве стратегии выбора зануляемых элементов может быть реализован один из вариантов обычного метода Якоби (см. параграф 4.2).
Значения параметров ,  матриц T_ij(k) определяются из соотношений:


Обозначая через с=(1-) получим две системы линейных алгебраических уравнений:

и (4.41)

По правилу Крамера из этих уравнений получим:
, . (4.42)
Обозначая через:
, ,
и приравнивая правые части (4.42) получим:
. (4.43)
Положив, из (4.43) получим .
После подстановки этих выражений для  и  в одно из исходных уравнений (4.41), получим:

или
(4.44)
После упрощений (4.44) примет вид:
. (4.45)
Когда матрица В положительно определена, уравнение (4.45) имеет ненулевое решение. Чтобы  и  были достаточно малыми величинами, в качестве  нужно выбирать тот корень уравнения, который дальше отстоит от нуля.
После вычисления  элементы матрицы T_ij(k) определяются по формулам:
, .
На обобщенный метод Якоби распространяется квадратичная сходимость обычного метода Якоби, при условии, что итерационный процесс вообще сходится. Отметим, что теоретически сходимость обобщенного метода Якоби ещё не доказана [13].