Численные методы линейной алгебры

4.4. Обратный степенной метод

Обратный степенной метод [6, 9, 11, 12] используется для нахождения наименьшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы. При этом метод применяется к обратной матрице A^-1, так как собственные значения последней обратны к собственным значениям матрицы А.

Пусть А=A^* и
₁<₂<…<_n-1<_n. (4.24)
Выберем произвольный вектор z₀ таким, что
(z₀, x₁)0
и образуем последовательность
z_k+1=A^-1z_k . (4.25)
Так как собственные значения _i матрицы A^-1 связаны с собственными значениями _i матрицы А соотношением
_i_i=1 ,
имеем
_max=1/_min=1/₁=₁.
Покажем, что
= (4.26)
или
= +О( ). (4.27)
Формулы (4.25) – (4.27) составляют алгоритм определения наименьшего по модулю собственного значения матрицы А.
Далее разложим вектор z₀ по собственным векторам матрицы А
z₀= ,
z₁=A^-1z₀= ,
z₂=A^-1z₁= ,
………………
z_k= ,
z_k+1= .
Тогда
(z_k, z_k)= ,
(z_k+1, z_k)= .

Поэтому
=

=_n . (4.28)

Из (4.28) следует сходимость обратного степенного метода, и будем иметь

 (k=0, 1, 2,…),
что подтверждает (4.27).
Для нахождения собственного вектора х₁ можно воспользоваться формулой (4.25). Тогда получим
z_k+1= = x_i= .
При k z_k+1 , следовательно, вектор z_k+1 будет отличаться от вектора х₁ множителем . При определении собственного вектора х₁ требуется нормировка вычисляемых векторов z_k+1 .