Численные методы линейной алгебры

4.1. Устойчивость задачи на собственные значения

Для простоты будем считать, что все собственные значения матрицы А простые в задаче (4.1).

На практике элементы матрицы А, почти всегда, заданы с некоторой погрешностью А, тогда вместо (4.1) будем иметь
(А+А)(х+х)=(+)(х+х),
тогда отбросив, члены второго порядка малости получим
Ах+Ах+Ах=х+х+х
из последнего выражения вычтем (4.1), тогда имеем
Ах+Ах=х+х. (4.7)
Рассмотрим два варианта существования погрешностей:

1. 
   х=0, 0;
   
2. 
   х0, =0.
   

Последовательно рассмотрим оба варианта.
Вариант 1. х=0, 0.
Тогда из (4.7) имеем
Ах_i=_iх_i ,
(y_i, Ах_i)=_i(y_i, x_i),
.
Отношение называется i-ым коэффициентом перекоса матрицы А, где _i – угол между собственными векторами x_i и y_i .
Таким образом,
.
Следовательно, если погрешность А мала и мал i-ый коэффициент перекоса, то мала погрешность определяемого i-го собственного значения.
Отметим, что для симметричной матрицы все _i=1, поэтому задача нахождения собственных значений симметричной матрицы является устойчивой.
Вариант 2. х0, =0.
Тогда из (4.7) имеем
Ах_i +Ах_i =_iх_i ,
(Ах_i, y_j)+(Ах_i, y_j)= _i(х_i, y_j) , (4.8)
где (Ах_i, y_j)=( х_i, A^*y_j)=(х_i, _jy_j)=_j(х_i, y_j).
Подставляя последнее в (4.8) получим
_j(х_i, y_j)+(Ах_i, y_j)= _i(х_i, y_j),
(х_i, y_j)=(Ах_i, y_j)/(_i-_j), при ij. (4.9)
Пусть
х_i= , (4.10)
тогда
(х_i, y_j)=_ij(x_j, y_j)
после подстановки этого выражения в (4.9) получим
_ij= при ij,
. (4.11)
Из (4.10), (4.11) видно, что если мала погрешность определения элементов матрицы А и малы все коэффициенты перекоса, то мала погрешность определения i-го собственного вектора, соответствующего i-му собственному значению.
Следствие 4.1. Если матрица А=A^* и все собственные значения простые, то задача нахождения собственных векторов устойчива.