Численные методы линейной алгебры

4.2. Метод вращения Якоби

Метод Якоби [4, 5, 9, 11] применяется для решения полной проблемы собственных значений симметричных матриц. Пусть А – исходная симметричная матрица, имеющая простые собственные значения. Тогда согласно теореме 1.1 имеем

Т^-1АТ=, (4.12)
где  - диагональная матрица. В качестве матрицы Т используем ортогональную матрицу вращения
i j
T_n(i,j)= , (iТак как T_n – ортогональная матрица (4.12) запишется в виде
АТ= , (4.13)
где - квазидиагональная матрица.
Дальше строится последовательность матриц А_n при начальной А₀=А:
А₁= А₀Т₁ ,
…………. , n=1, 2, 3,… (4.14)
А_n= А_n-1Т_n .
При n limA_n=.
Идея построения последовательности (4.14) такова:
допустим, что ненулевой, недиагональный элемент матрицы А_n-1 находится в позиции (i, j), тогда умножение её на Т_n справа и слева соответствует вращения матрицы А_n-1 в плоскости (i, j). Угол вращения  выбирается таким образом, чтобы сделать элемент (i, j) матрицы А_n нулевым.
Алгоритм метода вращения, который получается из последней строки последовательности (4.14), будет таким:

(4.15)
где c=cos, s=sin, n=1, 2, 3,…
Из последнего выражения формул (4.15) получим
tg2= , /4. (4.16)
Из исходных соотношений получим уравнение
tg=s/c=t. (4.17)
Далее из (4.16), (4.17) получим
t²+ t-1=0. (4.18)
Для сходимости и устойчивости метода необходимо выбрать наименьший по модулю корень уравнения (4.18). Зная t можно вычислить с, s:
s=tc.
Для якобиева вращения, , справедливо
t²(A_n)= t²(A_n-1)-2( )² ,
где
t²(A_n-1)= .
Сходимость метода Якоби можно оценить числом t²(A_n), если процесс сходится, то t²(A_n)0 при n.
Процесс итерации заканчивается, когда все недиагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию
 <, ij , 0<<1.
Наконец, о нахождении собственных векторов.
Пусть , где Т= , тогда столбцы матрицы Т будут собственными векторами матрицы А.
Заметим, так как метод Якоби носит итерационный характер, то элемент, который был сделан нулевым при следующем вращении, вообще говоря, может стать ненулевым.
Вопрос, в каком порядке занулять элементы матрицы А, т.е. вопрос о выборе индексов i и j для каждого шага, определяет различные варианты метода Якоби.