Численные методы линейной алгебры

4.5. Итерационный метод

Пусть А=А^* >0 , тогда распишем систему уравнений

(А-Е)х=0 (4.29)
относительно собственного значения ₁ и собственного вектора матрицы А

или
(4.30)
Поскольку компоненты собственных векторов определяются с точностью до постоянной, то одну из них можно задать произвольно, например, за исключением особого случая, можно положить =1. Систему (4.30) можно решить методом итерации, следующим образом при начальных значениях

Итерация заканчивается при выполнении условия
где 0<<1.
Таким образом, находится первое собственное значение

и первый собственный вектор
.
Для определения второго собственного значения ₂ и второго собственного вектора х⁽²⁾ обратимся к системе
(4.31)
Из соотношения ортогональности
(4.32)
исключается одно из неизвестных , например . Тогда система (4.31) заменится эквивалентной
(4.33)
Здесь новые преобразованные коэффициенты. Далее, полагая, что =1 и при заданных начальных значениях решается система уравнений (4.33) методом итерации:

В результате будут найдены второе собственное значение ₂ и второй собственный вектор х⁽²⁾ матрицы А, при чем n-я компонента этого вектора находится из условия ортогональности (4.32). Аналогично находятся остальные _j (j=3,4,…,n) и соответствующие им собственные векторы х^(j).


4.6. Методы для матриц, не принадлежащих
к специальному классу

Здесь будут рассмотрены методы решения полной проблемы собственных значений для несимметричных матриц, при этом не делается каких-либо оговорок относительно кратности или не кратности собственных значений. К таким методам относятся QL и QR алгоритмы [9, 11, 12]. Отметим, что эти алгоритмы являются типичными представителями методов трансформационного типа. Общая идея этих методов состоит в том, чтобы посредством последовательности простых преобразований подобий привести матрицу к той или иной канонической форме, позволяющей без труда определить собственные значения и вектора.