Лекция №2. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Ранг матрицы

Лекция №2. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями.
Математика – это набор инструментов. Каждый инструмент служит для выполнения определенной цели. Например, для исследования сложных объектов, которые характеризуются несколькими числами, разработан специальный аппарат, который называется теорией матриц.
Значительная часть математических моделей объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной форме – матричной. Рассматриваемую систему линейных алгебраических уравнений также можно представить в матричной форме.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Например,

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: ,.., а элементы матрицы обозначаются строчными буквами с двойной индексацией где i-номер строки, j-номер столбца. Например, матрица

С помощью матриц удобно записывать различные физические, экономические, технические и другие данные, выражающие те или иные зависимости.
Матрица может состоять из одной строки или столбца.
Если число строк в матрице равно числу столбцов, то она называется квадратной. Например:
.
Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,
.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, а диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E. Например,
.

1. 
   Алгебра матриц: сложение, вычитание, умножение на число, произведение
   

Умножение матрицы на число. При умножении матрицы на число получается матрица, элементы которой получены умножением каждого элемента исходной матрицы на это число

.
Рассмотрим пример:
,

.
Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.
Сложение и вычитание матриц. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица, элементы которой получены с помощью поэлементного сложения (вычитания).
Пример:

.
Вычитание матриц аналогично.
Умножение матриц. В результате умножения двух матриц получается новая матрица. Элементы первой строки, которой получаются путем сложения произведений соответствующих элементов первой строки первой матрицы и первого столбца (затем второго и т.д.) второй матрицы. Аналогично получается вторая, третья, … m – я строка новой матрицы.
Пример:



Умножение матрицы на матрицу определено в том случае, если количество столбцов в первой матрице равно числу строк во второй матрице.
Пример:
.
Возведение матрицы в степень определяется только для квадратных матриц. Важно последовательное умножение матриц.
Пример: найти , если


Транспонирование матриц – переход к новой матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка

Обозначение
Рассмотрим пример:


Обратная матрица
Рассмотрим квадратную матрицу

Матрица A называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, матрица называется вырожденной.
Для невырожденной матрицы A существует обратная матрица , которая в произведении с матрицей A дает единичную матицу:

Обратная матрица вычисляется по формуле:

где алгебраические дополнения к элементам матрицы, -определитель матрицы.
Элементы матрицы заменяют алгебраическими дополнениями, полученную матрицу транспонируют и каждый элемент делят на определитель.
Рассмотрим пример. Найти обратную матрицу к матрице

Рассмотрим алгоритм решения. Первый шаг, найдем главный определитель матрицы

Следовательно, существует.
Второй шаг, транспонируем исходную матрицу

Третий шаг, найдем алгебраические дополнения для каждого элемента транспонированной матрицы





Последний шаг, записывают матрицу обратную исходной матрице

Проверим полученный результат: