Численные методы линейной алгебры

4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи
к стандартной

Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные значения

Ах=Вх (4.46)
является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого матрицы
B=LL^T ,
где L – нижняя треугольная матрица.
Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:
Ах=LL^Tх ,
L^-1Ах=L^Tх . (4.47)
Делаем замену переменных:
у=L^Tх или х=L^-Ту .
Тогда (4.47) запишется в виде:
L^-1АL^-Ту=у ,
при =L^-1АL^-Т ,
y=у . (4.48)
Таким образом, исходная задача (4.46) при A=A^T и В=В^Т>0 заменяется эквивалентной стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей . Для полученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.
Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы переход к уравнению
В^-1Ах=х ,
но матрица В^-1А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей на собственные значения с симметричной матрицей.
ПРИЛОЖЕНИЕ


ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Каждое задание состоит из 10 вариантов, и выполняются с применением конкретного численного метода, указанного вначале задания. При выполнении задания необходимо использовать один из языков программирования высокого уровня.

Цель лабораторных работ:

1. 
   Усовершенствование навыков программирования;
   
2. 
   Практическое усвоение численных методов линейной алгебры.
   

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 2


Задание № 2.1
Здесь даны 10 вариантов задания, в которых СЛАУ надо решить классическим методом Гаусса:

1. 
   2х₁+2х₂ - х₃ + х₄=4, 2) 2х₁+3х₂+11х₃+5х₄=2,
   

4х₁+3х₂ - х₃+2х₄=6, х₁ + х₂ + 5х₃+2х₄=1,
8х₁+5х₂-3х₃+4х₄=12, 2х₁ + х₂ + 3х₃+2х₄=-3,
3х₁+3х₂-2х₃+2х₄=6. х₁ + х₂ + 3х₃+4х₄=-3.

Ответ: х₁=х₂=1, Ответ: х₁=-2, х₂=0,

х₃=х₄=-1. х₃=1, х₄=-1.

3) 2х₁ + 5х₂+4х₃+ х₄=20, 4) 3х₁+4х₂ + х₃+2х₄=-3,

х₁ + 3х₂+2х₃ + х₄=11, 3х₁+5х₂+3х₃+5х₄=-6,
2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40, 6х₁+8х₂ + х₃+5х₄=-8,
3х₁ + 8х₂+9х₃+2х₄=37. 3х₁+5х₂+3х₃+7х₄=-8.

Ответ: х₁=1, х₂=2, Ответ: х₁=2, х₂=-2,

х₃=2, х₄=0. х₃=1, х₄=-1.

5) 7х₁+9х₂+4х₃+2х₄=2, 6) 3х₁-2х₂-5х₃ + х₄=3,

2х₁-2х₂ + х₃ + х₄=6, 2х₁-3х₂ +х₃+5х₄=-3,
5х₁+6х₂+3х₃+2х₄=3, х₁+2х₂ - 4х₄=-3,
2х₁+3х₂ + х₃ + х₄=0. х₁ - х₂-4х₃+9х₄=22.

Ответ: х₁=-0.4, х₂=-1.2, Ответ: х₁=-1, х₂=3,

х₃=3.4, х₄=1. х₃=-2, х₄=2.

7) 4х₁-3х₂ + х₃+5х₄=7, 8) 2х₁-2х₂ + х₄=-3,

х₁-2х₂ - 2х₃ -3х₄=3, 2х₁+3х₂ +х₃-3х₄=-6,
3х₁ - х₂ + 2х₃ =-1, 3х₁+4х₂ -х₃ +2х₄=0,
2х₁+3х₂ +2х₃ -8х₄=-7. х₁+3х₂+х₃ - х₄=2.

Ответ: х₁=2, х₂=1, Ответ: х₁=-2, х₂=1,

х₃=-3, х₄=1. х₃=4, х₄=3.

9) х₁ + х₂- 6х₃ - 4х₄=6, 10) 2х₁-3х₂+3х₃ +2х₄=3,

3х₁ - х₂ -6х₃ - 4х₄=2, 6х₁+9х₂ -2х₃ - х₄=-4,
2х₁+3х₂+9х₃+2х₄=6, 10х₁+3х₂-3х₃- 2х₄=3,
3х₁+2х₂+3х₃+8х₄=-7. 8х₁+6х₂+ х₃+3х₄=-7.

Ответ: х₁=0, х₂=2, Ответ: х₁=1/2, х₂=-2/3,

х₃=1/3, х₄=-3/2. х₃=2, х₄=-3.


Задание № 2.2
Ниже приводятся варианты для численного вычисления определителя матрицы:
1) 2)
Ответ: -9. Ответ: 18.

3) 4)

Ответ: 18. Ответ: 4.

5) 6)

Ответ: 90. Ответ: 27.

7) 8)

Ответ: 17. Ответ: -6.

9) 10)

Ответ: -10. Ответ: 100.
Задание № 2.3
Используя численные методы вычислить обратные матрицы:
1) А= , А^-1= .

2) А= , А^-1= .

3) А= , А^-1= .

4) А= , А^-1= .

5) А= , А^-1= .
6) А= , А^-1= .

7) А= , А^-1= .

8) А= , А^-1= .

9) А= , А^-1= .

10) А= , А^-1= .

Задание № 2.4
Решить СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента:
1) А= , b= .

2) А= , b= .

3) А= , b= .

4) А= , b= .

5) А= , b= .

6) А= , b= .

7) А= , b= .

8) А= , b= .

9) А= , b= .

10) А= , b= .

Задание № 2.5
Приведенные варианты решить методом Халецкого:

1) 3х₁+х₂ - х₃+2х₄=6, 2) 2х₁-4х₂-3.25х₃+ х₄=4.84,

-5х₁+х₂+3х₃-4х₄=-12, 3х₁-3х₂ - 4.3х₃+8х₄=8.89,
2х₁ +х₃ - х₄=1, х₁-5х₂+3.3х₃-20х₄=-14.01,
х₁-5х₂+3х₃-3х₄=3. 2.5х₁-4х₂ + 2х₃ - 3х₄=-20.29.
Ответ: х₁=1, х₂=-1, Ответ: х₁=2.34, х₂=4.51,
х₃=2, х₄=3. х₃=-6, х₄=-1.3.
3) 2х₁- х₂ -6х₃+3х₄=-1, 4) 2х₁+ х₂+4х₃+8х₄=-1,
7х₁-4х₂+2х₃-15х₄=-32, х₁+3х₂ -6х₃+2х₄=3,
х₁- 2х₂ -4х₃ + 9х₄=5, 3х₁-2х₂+2х₃-2х₄=8,
х₁- х₂+2х₃ - 6х₄=-8. 2х₁- х₂ + 2х₃ =4.
Ответ: х₁=-3, х₂=0, Ответ: х₁=2, х₂=-3,
х₃=-0.5, х₄=2/3. х₃=-1.5, х₄=0.5.

5) 2х₁-5х₂ +3х₃+х₄=5, 6) х₁ + 2х₂ + 5х₃ + 9х₄=79,

3х₁-7х₂ +3х₃- х₄=-1, 3х₁+13х₂+18х₃+30х₄=263,
5х₁-9x₂ +6х₃+2х₄=7, 2х₁ + 4х₂+11х₃+16х₄=146,
4х₁-6х₂+3х₃+ х₄=8. х₁ + 9х₂ + 9х₃ + 9х₄=92.
Ответ: Система решений Ответ: х₁= , х₂= ,
не имеет. х₃=-10, х₄=1.

7) 2х₁+7х₂ +3х₃+х₄=5, 8) 3х₁+х₂ - х₃+2х₄=6,

х₁+3х₂+5х₃-2х₄=3, -5х₁+х₂ +3х₃-4х₄=-12,
х₁+5х₂-9х₃ +8х₄=1, 2х₁ + х₃- х₄=1,
5х₁+18х₂+4х₃+5х₄=12. х₁-5х₂ +3х₃ -3х₄=3.
Ответ: Система не определена, Ответ: х₁=1, х₂=-1,
т.е. имеет бесконечно много х₃₌2, х₄=3.
решений.

9) 2х₁-4х₂-3.25х₃+х₄=4.84, 10) 2х₁-х₂+4х₃-3х₄+х₅=11,

3х₁-3х₂- 4.3х₃+8х₄=8.89, -х₁+х₂+2х₃+ х₄+3х₅=14,
х₁-5х₂+3.3х₃-20х₄=-14.01, 4х₁+2х₂+3х₃+3х₄-х₅=4,
2.5х₁-4х₂+ 2х₃ - 3х₄=-20.29. -3х₁+х₂ +3х₃ +2х₄+4х₅=16,
Ответ: х₁=2.34, х₂=4.51, х₁+3х₂- х₃+4х₄+4х₅=18.
х₃=-6, х₄=-1.3. Ответ: х₁=1, х₂=2, х₃=1,
х₄=-1, х₅=4.


Задание № 2.6
Приведенные здесь варианты решить методом квадратных корней:

1. 
   А= , b= .
   
2. 
   А= , b= .
   

3. 
   А= , b= .
   

4. 
   А= , b= .
   

5. 
   А= , b= .
   

6. 
   А= , b= .
   

Ответ: х₁=0.4, х₂=0.5, х₃=0.6, х₄=0.5.
7) А= , b= .
Ответ: х₁=1.04625, х₂=0.56278, х₃=0.11100, х₄=-0.22812.
8) А= , b= .
Ответ: х₁=-7, х₂=-2, х₃=-1, х₄=-4, х₅=9.

9) А= , b= .

Ответ: х₁=-6, х₂=-5, х₃=-8, х₄=5, х₅=-7.

10) А= , b= .

Ответ: х₁=-7, х₂=-2, х₃=-1, х₄=-4, х₅=9.


Задание № 2.7
Приведенные варианты СЛАУ решить методом прогонки:

1. 
   А= , b= . 2) А= , b= .
   

Ответ: х₁=0, х₂=0.66667, Ответ: х₁=1, х₂=1,
х₃=1.33333, х₄=2. х₃=1, х₄=1.
3) А= ,

b= , Ответ: х= .

4) А= , b= . 5) А= , b= .

Ответ: х₁=2, х₂=2, Ответ: х₁=1.6, х₂=-0.6,
х₃=2, х₄=2. х₃=-0.8, х₄=1.

6) А= , b= . 7) А= , b= .

Ответ: х₁=-6, х₂=-4, Ответ: х₁=-1, х₂=-3,
х₃=-1, х₄=2. х₃=-5, х₄=-7.
8) А= , b= . 9) А= , b= .
Ответ: х₁=5, х₂=3, Ответ: х₁=-0.2222, х₂=1.8889,
х₃=-8, х₄=-18. х₃=1.4444, х₄=2.

10) А= , b= . Ответ: х= .

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 3


Задание № 3.1

Нижеприведенные варианты СЛАУ решить методом простой итерации и методом Зейделя:

1) А= , b= . Ответ: x= .

2) А= , b= . Ответ: х= .

3) А= , b= . Ответ: х= .

4) А= , b= . Ответ: х= .

5) А= , b= . Ответ: х= .

6) А= , b= . Ответ: х= .

7) А= , b= . Ответ: х= .

8) А= , b= . Ответ: х= .

9. 
   А= , b= . Ответ: х= .
   

10) А= , b= . Ответ: х= .

Задание № 3.2

Приведенные здесь варианты СЛАУ решить методом релаксации:

1) 2х₁+3х₂+20х₃- х₄=-10, 2) х₁- 5х₂+6х₃+13х₄=15,

3х₁+2х₂+ х₃+20х₄=15, х₁+10х₂- х₃+ 2х₄=10,
10х₁- х₂+ 2х₃- 3х₄=1, 3х₁+ 4х₂-15х₃- 8х₄=8,
х₁+10х₂- х₃+ 2х₄=5. 15х₁- 2х₂+ 3х₃- 6х₄=5.

Ответ: х₁=0.3111, х₂=0.3722, Ответ: х₁=1.0602, х₂=0.4256,

х₃=-0.5772, х₄=0.195. х₃=-1.1501, х₄=1.7668.

3) 3х₁+7х₂- 8х₃- 19х₄=8, 4) 6х₁- 9х₂+ х₃-17х₄=8,

5х₁- 8х₂+15х₃-1.5х₄=7, х₁+ 7х₂-11х₃-2.5х₄=15,
2х₁+ 6х₂-2.5х₃- х₄=10, -5х₁+10х₂+3х₃-1.5х₄=12,
7х₁+2х₂- 3х₃+1.5х₄=6. 9х₁- 3х₂- 4х₃+1.5х₄=10.

Ответ: х₁=0.8465, х₂=1.8536, Ответ: х₁=2.0438, х₂=2.0159,

х₃=1.1637, х₄=-0.0944. х₃=0.2868, х₄=-0.7996.
5) -х₁+4х₂+ 7х₃+13х₄=7, 6) -5х₁+ х₂- 6х₃-13х₄=10,
-6х₁+3х₂-11х₃-1.5х₄=11, 3х₁+4х₂-12х₃+4х₄=11,
3х₁+7х₂- 2х₃+ х₄=8, -2х₁-15х₂+7х₃- 4х₄=9,
5х₁- х₂+ 3х₃+0.5х₄=5. 11х₁+ 5х₂-3х₃+2.5х₄=13.

Ответ: х₁=2.2550, х₂=-1.0038, Ответ: х₁=1.5732, х₂=-1.1289,

х₃=-2.8524, х₄=2.5567. х₃=-1.2018, х₄=-0.9065.

7) х₁-7х₂+ 3х₃- 12х₄=5, 8) 3х₁+ 2х₂- 7х₃-14х₄=12,

-5х₁-3х₂+15х₃+ 6х₄=10, -4х₁- х₂+10х₃+4х₄=10,
-2х₁+8х₂+ 3х₃- 2х₄=9, 5х₁-16х₂+ 4х₃- 5х₄=15,
7х₁- х₂+ 5х₃+0.5х₄=7. 11х₁- 6х₂+ 3х₃- х₄=9.

Ответ: х₁=0.3366, х₂=0.6671, Ответ: х₁=0.2387, х₂=0.1065,

х₃=1.1122, х₄=-0.4997. х₃=1.7780, х₄=-1.6798.

9) 5х₁-6х₂+ х₃+14х₄=10, 10) х₁- 8х₂+5х₃-15х₄=11,

-3х₁+7х₂-13х₃+ 2х₄=8, -х₁+ 7х₂+12х₃- 2х₄=9,
х₁-10х₂+ 6х₃- 2х₄=9, 3х₁-11х₂+ 4х₃- 3х₄=10,
9х₁+5х₂- 3х₃+ х₄=7. 13х₁+ 6х₂- 5х₃+1.5х₄=12.

Ответ: х₁=1.2105, х₂=-1.8826, Ответ: х₁=1.363, х₂=-0.1370,

х₃=-1.9676, х₄=-0.3843. х₃=0.8985, х₄=-0.2699.