Chegirmalar nazariyasining ba’zi tadbiqlari

2.2.6-misol. (Eyler) integralini hisoblash uchun biz

funksiyani qaraylik. mavhum aylanishga ega bo’lgan xossasidan u o’zgarmas ko’phadga ko’payadi. 2.2.5-chizmada ko’rsatib qo’yilgan to’g’ri burchak konturi bo’yicha ni shunga mos integrallaymiz. Buni ichida chegirma bilan birinchi tartibli qutbga ega bo’ladi. Demak, chegirmalar haqidagi teorema bo’yicha

bo’ladi.

larga egamiz.
II va IV kesmalarga mos

Demak, bo’lsa unda da ikkala va integral ham 0 ga intiladi.
Shunday qilib, da

bo’ladi va dagi limitdan izlanayotgan integralimizga ega bo’lamiz.
(2.2.23)
2.2.7-misol. (Puasson) integralini hisoblash uchun funksiyani qaraymiz va uning haqiqiy o’qdagi integrali mashhur natija asosida hisoblanadi, to’g’ri chiziqda esa u

2.2.6-chizma to`rtburchak konturi

funksiyaga aylanadi, bo’lgan holda haqiqiy qismi o’zgarmas ko’phadli integral osti funksiyadan farq qiladi. Bunga mos holda biz 2.2.6-chizmada ko’rsatilganidek integrallash konturini tanlab olamiz. Koshi teoremasiga asosan
(2.2.24)
bo’ladi. Bu yerda
,
II va IV kesmalarda bo’lganda

bo’ladi. Demak, agar bo’lsa, ni qo’llab

ni topamiz. Bu yerdan esa haqiqiy qismlarni taqqoslashdan yakuniy yechimga kelamiz:
(2.2.25)
2.2.8-misol. (Lejandr) integralni hisoblash uchun biz yordamchi funksiyani olamiz va uni 2.2.7-chizmada ko’rsatilgan kontur bo’yicha integrallaymiz. ekanligidan integralning yuqori va quyi chegaralarini bir qilib birlashtirish mumkin;

2.2.7- chizma to`rtburshak konturi

kesma bo’yicha integral da 0 ga intiladi (2.2.7-misolga qarang). kesmada esa deb olamiz. Unda Koshi teoremasiga asosan
(2.2.26)
Bu yerda I va II (2.2.7-chizmaga qarang) aylanadagi yoylarni ifodalaydi. nuqta yaqinida biz

ga egamiz.Bu yerda nuqtadagi to’g’ri funksiya;
I yoyda biz ga egamiz, unda

bo’ladi.

ga o’xshab (2.2.26) tenglik

ko’rinishni oladi. Bu yerda mavhum qismni ajratib olib va uni , da limitga o’taylik.

ni hisobga olamiz va yakuniy yechimga
(2.2.27)
ga ega bo’lamiz.