Chegirmalar nazariyasining ba’zi tadbiqlari

Chegirmalar nazariyasining ba’zi tadbiqlari

Funksiyaning chegirmalari haqidagi ma’lumotlar va tasdiqlardan foydalanib, funksiyalarning yopiq egri chiziq (yopiq kotur) bo’yicha olingan integrallarini hamda ma’lum sinf aniq integrallarini hisoblaymiz.
Funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha integrallarini hisoblash.
Funksiya chegirmasi ta’rifi:

yopiq egri chiziq bo’yicha olingan

integralni hisoblash imkonini beradi.
Masalan, ushbu

integralni qaraylik. Integral ostidagi, funksiyaning nuqtaning o’yilgan atrofi dagi Loran qatori

bo’lib bunda bo’ladi. Demak,

bo’ladi.
Ma’lumki chegirmalar haqidagi 2.1.2-teoremaga asosan , funksiyaning yopiq egri chiziq, bo’yicha olingan integrali shu funksiyaning ichida yotgan maxsus nuqtalardagi chegirmalari orqali ifodalanar edi. Binobarin, bunday integrallar chegirmalarni hisoblash bilan bog’liq.
Masalan, ushbu

integralni qaraylik. Integral ostidagi

funksiyaning 4ta maxsus nuqtalari(qutb nuqtalari) bo’lib barchasi aylana ichida joylashganligi sababli 2.1.2-teoremaga ko’ra

bo’ladi.
Ma’lumki, 2.1.3-teoremaga muvofiq

(2.2.1)
bo’ladi. Agar

bo’lishidan

ekanligini e’tiborga olsak,unda (2.2.1) munosabatdan

(2.2.2)

bo’lishi kelib chiqishini topamiz.

(2.2.1)va (2.2.2) munosabatlardan topamiz:

Masalan, ushbu

integralni hisoblang.
Integral ostidagi

funksiyaning maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari) aylana ichida yotadi. Unda

bo’ladi.
Endi (4) formuladan foydalanib, chegirmalarni hisoblaymiz:


Demak,

bo’ladi.


ko’rinishdagi integralni hisoblash.
Chegirmalar teoremasining ishlatilishiga asoslangan integrallarni hisoblash usullari mavjudligi quyidagilardan tuzilgan. o’qining biror-bir kesmadagi haqiqiy funksiyaning integralini hisoblash talab qilingan bo’lsin. Biz ni egri chiziq bilan to’ldirib, soha bilan chegaralangan va ni gacha davom ettiraylik. Biz analitik ravishda davom ettirib qurgan funksiyaga chegirmalar teoremasini qo’llab, quyidagini topamiz:
(2.2.4)
bu yerda - sohadagi ning chegirmalari summasidir. Agar dan olingan integralni hisoblash mumkin bo’lsa yoki uni izlanayotgan integral orqali ifodalash mumkin bo’lsa, unda ni hisoblash masalasi yechiladi.
Ba’zi bir hollarda funksiyani kesmada berilgan funksiya ning haqiqiy yoki mavhum qismi sifatida tanlab olinadi. Unda qidirilayotgan integral mos ravishda (2.2.4) ni haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib hisoblab topiladi.
Bu tasvirlangan usul maxsus nuqtalarida chegirmalarning differensial kattaliklarini hisoblashni kontur bo’yicha integral kattaliklarni hisoblashga olib keladigan Koshining chegirmalar teoremasini yaqqol ko’rsatib turibdi. qilib quriladigan chegaralanmagan kengaytirilgan konturdagi integrallar oilasi ko’rib o’tiladi. Bu holda dan olinadigan (2.2.4) integralni hisoblash kerak bo’lmay qoladi. Faqat uning limitini toppish kerak bo’ladi. Xususiy holda oxirgisi nolga tengligi kelib chiqadi.
Ba’zi misollarda bo’yicha integralni baholashni quyidagi lemma orqali amalgam oshirish mumkin.