Chegirmalar nazariyasining ba’zi tadbiqlari

2.2.1-misol. Ushbu

integralni hisoblang

Bu integralda almashtirish bajarib, (2.2.9) va (2.2.10) munosabatlardan foydalanib

(2.2.11)
bo’lishini topamiz. Integral ostidagi

( )

funksiyaning ikkita


,

Maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan birlik aylana ning ichida joylashgandir. Demak,

(2.2.12)

bo’ladi.
Endi (2.2.6) formuladan foydalanib, chegirmani hisoblaymiz:

= (2.2.13)

(2.2.13),(2.2.14)va(2.2.15) tengliklardan

bo’lishini topamiz.

2.2.2-misol. Ushbu

integralni hisoblang.
Bu integralda almashtirish bajarib, (2.2.9) va (2.2.10) munosabatlardan foydalanib topamiz:

(2.2.14)

integral ostidagi

funksiyaning 3 ta

maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan


lar aylana ichida joylashgan.
Demak,

(2.2.15)
Endi (3) formuladan foydalanib, chegirmalarni hisoblaymiz:


=-1,

= (2.2.16)

(2.2.11), (2.2.12)va(2.2.13) tengliklardan

bo’lishi kelib chiqadi
ko’rinishdagi integrallarni hisoblash. Aytaylik, o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’lgan

bo’lib, bunda va lar mos ravishda va darajali ko’phadlar, va bo’lsin. funksiya haqiqiy o’qda qutb nuqtaga ega bo’lmasin.
Markazi kordinanatalar boshida radiusi bo’lgan aylananing yuqori yarim tekislikdagi qismi hamda haqiqiy o’qning kesmasidan tashkil topgan yopiq egri chiziqni olamiz

Ravshanki,

So’ng

ratsional funksiyani qaraymiz.

Endi radiusni shunday katta qilib olamizki, funksiyaning barcha yuqori yarim tekislikdagi maxsus nuqtalari shu yopiq egri chiziq ichida joylashsin.
Chegirmalar haqidagi teoremaga ko’ra
(2.2.17)

bo’ladi.Bu yerda lar funksiyaning yopiq egri chiziq ichidagi maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari).

Ravshanki,

(2.2.18)
bo’ladi. (2.2.12) va(2.2.13) munosabatlardan

(2.2.19)

bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi

Integralni baholaymiz.
Agar

=

hamda bo’lishini e’tiborga olsak, unda ning yetarlicha katta qiymatlarda

bo’lishini topamiz.Natijada

bo’ladi. Keyingi (2.2.19) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi tenglikdan da limitga o’tib topamiz:
(2.2.20)

Demak, funksiya yuqorida aytilgan shartlarni qanoatlantirsa, unda

Integral R(z) funksiyaning yuqori yarim tekislikdagi barcha maxsus nuqtalaridagi chegirmalar yig’indisini ga ko’paytirilganiga teng bo’lar ekan.

ham yoziladi.