Chegirmalar nazariyasining ba’zi tadbiqlari

Lemma (K. Jordan). Agar aylana yoylarining biror ketma-ketligi
da g(z) funksiya ga bog’liq ravishda nolga tekis yaqinlashsa, u holda ixtiyoriy musbat son uchun

(2.2.5)

bo’ladi.
va deb belgilaylik. Lemma shartlariga asosan da ga, ham 0 ga intiladi, bo’lgani sababli. bo’lsin; va yoylarda (2.2.1-chizma) biz ga ega bo’lamiz, shunday qilib

va bu yoylardagi integrallar bo’lganda 0 ga intiladi.
tengsizlikning aniqligi asosida, da biz yoyda (1-chizma)

degan qarorga kelamiz, shunday qilib

2.2.1- chizma yarim aylana konturi

va ham bo’lganda 0 ga intiladi. Agar vatardan soat strelkasi bo’ylab manfiy o’qdan qutb burchagini hisoblasak, unda uchun ham xuddi shunday bah ova lemmaning tasdig’i isbot bo’ladi. bo’lgan holda isbot soddalashadi. Lemma to’liq isbotlandi.
Lemmadagi aylanalarning yoylari ketma-ketligini yoylari oilasiga almashtirish mumkin. Agar funksiya da nolga intilsa, unda ixtiyoriy musbat son uchun
(2.2.6)
o’rinli bo’ladi. Bu hol uchun ham yuqorida islotlaganimiz o’rinli bo’ladi.
O’zgaruvchini bilan almashtirsak, unda lemmadagi aylana yoyi (2-chizma) yoy bilan almashadi va biz ixtiyoriy da 0 ga intiladigan funksiya uchun va ixtiyoriy musbat uchun
(2.2.7)

2.2.2-chizma aylana konturi

o’rinli bo’ladi.
(2.2.9) dagi ni ga almashtirib, yana shu shartlar asosida, ixtiyoriy manfiy uchun
(2.2.8)
ni olamiz. Bu yerda (2.2.2-chizma) aylanadagi yoy.
Biz chegirmalar nazariyasi yordamida hisoblanadigan integrallarni hisoblashning umumiy usulini aniq bir misollarda yaqqol ko’rsatib o’tamiz. Biz ishni sinusli yoki kosinusli kasr-ratsional funksiyalarning hosilasi integralarini hisoblashdan boshlaymiz.

Ratsional funksiya ning oraliq bo’yicha aniq integrali

(2.2.9)

ushbu

almashtirish yordamida kompleks o’zgaruvchili funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha olingan integraliga keladi.
Avvalo shuni aytish kerakki, (2.2.9) almashtirishda o’zgaruvchi 0dan gacha o’zgarganda z o’zgaruvchi musbat yo’nalishda olingan birlik aylana
ni hosil qiladi
Ravshanki,
(2.2.10)

bo’lib,

ya’ni
(2.2.11)

bo’ladi. Natijada

bo’lib, qaralayotgan aniq integral ratsional funksiyaning aylana bo’yicha olingan integraliga keladi:

Bu tenglikdagi

integral uchun, chegirmalar haqidagi teoremaga muvofiq

bo’ladi.Bu yerda lar funksiyaning birlik aylana ichida joylashgan maxsus nuqtalari.