Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Ta`rif

Tartibini pasaytiradigan differensial tenglamalar.
Ushbu (1) ko`rinishdagi tenglama no’malum y funksiyani oshkor holda o`z ichiga olmaydi. Bunday tenglamani yechish uchun belgilash kiritiladi. Bunda ( ). Bu ifodalarni (1) tenglamaga qo`yib, x ning noma’lum p funksiyaga nisbatan birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning

- umumiy yechimini topamiz, tenglikdan (1) tenglamaning - umumiy integralini topamiz.

x erkli o`zgaruvchini oshkor holda o`z ichiga olmagan (2) ko`rinishdagi tenglama. Bu tenglamani yechish uchun (3) deb olamiz. Ammo endi p x ning funksiyasi emas, balki y ning funksiyasi bo`ladi. Bu holda

yoki hamda bo`ladi. Yuqoridagi almashtirishlarni (2) tenglamaga qo`yib, (4) tenglamani hosil qilamiz. Buni integrallab, ni va ixtiyoriy o`zgarmas miqdorning funksiyasi kabi aniqlaymiz: (3) –tenglikdan foydalanib differensial tenglamaga ega bo`lamiz. O`zgaruvchilarni ajratib, tenglamaga ega bo`lamiz. Oxirgi tenglamani integrallab, umumiy integralini topamiz.

Yuqori tirtibli differensial tenglamaning eng sodda ko’rinishi

(1)

shaklda bo’ladi. Bu tenglama umumiy yechimini topish uchun uni x0 va x oralig’ida integrallaymiz, u holda ekanligidan

(2)

ifodaga ega bo’lamiz, bunda C1 integrallash o’zgarmasi. (2) ni bir marta integrallab



integrallashni shunday davom ettirib, nihoyat ( n -marta integrallashdan keyin) umumiy integralining

(3)

ifodani hosil qilamiz. Oxirgi (5) ifoda (1) tenglamani umumiy yechimi bo’ladi. Agar (oldingi mavzudagi 2-formula) boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, ularga mos C1,C2,...,Cn larni aniqlab differensial
tenglamani xususiy yechimini topamiz.