Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Ta`rif

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi
Quyidagi differensial tenglamalarni yeching

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    ;
    
12. 
    ;
    
13. 
    ;
    
14. 
    ;
    
15. 
    ;
    
16. 
    ;
    

To`la differensial tenglama
1.

Javob:

2.

Javob:

3.

Javob:

4.

Javob:

5.

Javob:

6.

Javob:

7.

Javob:

8.

Javob:

9.

Javob:

10.

Javob:

11.

Javob:

12.

Javob:

13.

Javob:

14.

Javob:

Mustaqil yechish uchun misollar.

3. 
   ,
   
4. 
   
   

3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ; ;
   

6. 
   
   
7. 
   ; 8. ;
   

9. 
   10. ;
   

Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar
Mustaqil yechish uchun misollar

1.

2.

3.

4.

5.

6. ; , boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topamiz

7. ; ;

8. ;

9.

10.


Bir jinsli differensial tenglamalar. Bir jinsli differensial tenglamaga keltiriladigan tenglamalar
Mustaqil yechish uchun misollar

5. 
   ,
   
6. 
   
   

3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ; ;
   

6. 
   
   
7. 
   ; 8. ;
   

9. 
   10. ;
   

Mavzu. Differensial tenglamalar sistemasi. Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari
A(x) matritsasining elementlari о‘zgarmaslardan iborat, ya’ni

bо‘lsa, bu yerda о‘zgarmas sonlar, u vaqtda bu sistemani о‘zgarmas kоeffitsientli oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasi deb ataladi.

Bu yerda faqat bir jinsli sistema ustida ish olib boramiz. Uning yechimini Eyler usuli asosida

kо‘rinishda izlaymiz, bu yerda - о‘zgarmas noma’lum vektor,  - о‘zgarmas noma’lum son.

(14.11.13) ni (14.11.6) ga qо‘yib,



(14.11.14)

tenglamaga kelamiz. Olingan (14.11.14) birjinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidir. Uning yechimi bizni qiziqtirmaydi, chunki bu yechim sistema birjinsli ekanligidan о‘z-о‘zidan ma’lumdir va unga mos (14.11.6) sistemaning yechimi bu sistema uchun birjinsli boshlang‘ich shartlar bilan qо‘yilgan Koshi masalasiga mos keladi.

(14.11.14) birjinsli sistema noldan farqli yechimga ega bо‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bо‘lishi kerakligi bizga ma’lumdir. Demak,

det(A-E)=0 (14.11.15)

tenglamani olamiz. Bu tenglamadan  noma’lumning qiymatini topib, uni (14.11.14) ga qо‘ygach, undan ning noldan farqli qiymatini aniqlaymiz.

Agar (14.11.12)ni e’tiborga olsak, (14.11.15) ning kо‘rinishi

(14.11.15`)

bо‘ladi.

(14.11.15) (yoki baribir (14.11.15)) birjinsli о‘zgarmas kоeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarning normal (14.11.6) sistemasining xarakteristik tenglamasi deb ataladi.

Yuqoridagilardan kо‘rinadiki, (14.11.15) dan aniqlanadigan  son A matritsaning xos sonidan, unga mos (14.11.14) dan aniqlanadigan noldan farqli esa hos vektoridan iboratdir.

Umumiy holda (14.11.15) dan kо‘rinadiki, bu xarakteristik tenglama n–darajali algebraik tenglama bо‘lgani uchun n ta ildizi mavjuddir. Bu ildizlar oddiy, karrali, haqiqiy yoki mavhum bо‘lishi ham mumkin. Bu hollarning har birini alohida qarashga tо‘g‘ri keladi.

1) Agar  (14.11.15) (yoki baribir (14.11.15`)) xarakteristik tenglamaning oddiy haqiqiy ildizi bо‘lsa, unga mos kelgan xususiy yechimni topish uchun  ning qiymatini (14.11.14) sistemaga qо‘yib, undan xos vektorning biror qiymatini aniqlash lozim bо‘ladi. Buni misol ustida kо‘rsatamiz.

1-misol.

differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.

Yechish. Bu chiziqli differensial tenglamalarning birjinsli normal sistemasidir.

matritsa, vektor (ustun matritsa) kiritib, uni kо‘rinishda yozish mumkin bо‘lib, unga mos (14.11.15`) xarakteristik tenglama

dan iborat bо‘ladi. Uni yechib ildizlarni topamiz. Demak, xarakteristik tenglamaning uchchala ildizi ham oddiy va haqiqiydir.

xos vektorlarni aniqlash uchun (14.11.14) ni deb faraz qilib,

kо‘rinishda yozish mumkin.

a) =-2 desak,

.

Demak, =-2 xos songa mos xususiy yechim:

b) =-1 bо‘lganda

,



c) =3 bо‘lganda

Umumiy yechim:

2) Agar  (14.11.15) xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bо‘lsa, u vaqtda

(14.11.16)

sistema noldan farqli yechimga ega ekanligi isbotlangandir. Bu yerda n о‘lchovli noma’lum vektorlardir.

Agar (14.11.16) sistemadan vektorlar aniqlangan bо‘lsa,

(14.11.17)

Yordamchi funksiya kiritsak, xarkateristik tenglamaning m karrali  ildiziga mos (14.11.6) ning m ta chiziqli erkli xususiy yechimlarini

(14.11.18)

kо‘rinishda olish mumkin.

Buni kо‘rsatish uchun

va (14.11.19)

ayniyatlardan foydalanamiz. Bularni bevosita tekshirib ishonch hosil qilish mumkin.

Endi (14.11.19) ayniyatlardan foydalanib, (14.11.18) bilan aniqlangan har bir funksiya (14.11.6) ni qanoatlantirishini osongina kо‘rsatish mumkin:

Demak, qaralayotgan holda (14.11.16) sistemadan vektorlarni aniqlagach (14.11.17) orqali vektor funksiyalar yordamida (14.11.18) xarakteristik tenglamaning m karrali ildiziga mos keluvchi (14.11.6) ning chiziqli erkli m ta xususiy yechimlarini quramiz.

2-misol. sistemaning umumiy yechimi qurilsin.

Yechish.

Sistema xarakteristik tenglamasi:

.

Ikki karrali ildizga egamiz. (14.11.16) sistemani bu hol uchun echamiz:

(14.11.20)

Bu sistemaning birinchi tenglamasiga mos keluvchi sistema:

Noldan farqli yechim sifatida

ni olsak bо‘ladi. Demak,

(14.11.20) ning ikkinchi tenglamasiga mos sistema:

Bu sistema yechimini

deb olsak bо‘ladi. Demak,

.

Endi (14.11.17) formula asosida vektor funksiyalarini quramiz:

Xususiy yechimlar:

Umumiy yechim: .

Demak, sistemaning umumiy yechimi:

bо‘lib, bu yerda c₁ , c₂ о‘zaro erkli ixtiyoriy о‘zgarmaslardir.

3) Agar (14.11.5) xarakteristik tenglama mavhum ildizga ega bо‘lsa, albatta unga qо‘shma ildiz ham mavjud bо‘lib, ularga mos keluvchi xos vektor va xususiy yechim kompleks sohada topilib kompleks yechim haqiqiy va mavhum qismlari ham tenglamani qanoatlantirishidan foydalanib, haqiqiy yechimga о‘tiladi. Bunda Eyler formulalaridan foydalanamiz.

3-misol. sistemani yeching.

Yechish.

- ildizlar mavhum qо‘shma. Xos vektorni topamiz:

Xususiy yechim:



.

Bu kompleks yechimning haqiqiy va mavhum qismlaridan yechimlarining fundaental sistemasini quramiz:

Umumiy yechim:

4-misol. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish.

Xarakteristik tenglama:

Bundan tenglamani olamiz. Bu tenglama ikki karrali qо‘shma mavhum ilizlarga egadir.

(14.11.16) sistemani bu hol uchun yozamiz:

(14.11.21)

belgilash kiritib, ildiz uchun (14.11.21) sistemaning birinchi tenglamasiga mos keluvchi sistemani yozib, uni echamiz:

Bu sistemaning noldan farqli yechimi sifatida

ni olish mumkin.

(14.11.21) sistemaning ikkinchi tenglamasiga mos keluvchi sistema:

Bu sistemaning yechimini

deb olsak bо‘ladi. Endi, (14.11.16) formula asosida vektor funksiyalarni quramiz.

Berilgan sistemaning kompleks xususiy yechimlari:

Bulardan quyidagi haqiqiy xususiy yechimlarni olamiz:

Mustaqil yechish uchun misollar

1-Misol. Ushbu  uchinchi tаrtibli diffеrеnsiаl tеnglаmа nоrmаl sistеmаgа kеltirilsin.

2-Misol. Ushbu 

tеnglаmаlаr sistеmаsi ikkinchi tartibli differensial tenglamaga keltirilsin.

3-Misol:

sistеmа yеchilsin.

4-Misol. Ushbu diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr sistеmаsini

bоshlаng’ich shаrti qanoatlantiruvchi хususiy уеchimi tорilsin.

5-Misol. Ushbu tеnglаmаlаr sistеmаsini
 

umumiy уеchimi tорilsin.

6-Misol. Quyidagi differensial tenglamalar sistemasini

Bоshlаng’ich shаrtlari.   qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

7-Misоl. Ushbu sistеmа intеgrаllаnsin.


8-Misоl. Ushbu tеnglаmаlаr sistеmаsi уеchilsin