Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Ta`rif

To`la differensial tenglama

Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli

differensial tenglamani

ko`rinishga keltirish mumkin.Tenglamada o`zgaruvchilar teng kuchli ravishda qatnashadilar.

Ta`rif: Agar tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to`liq differensialiga teng bo`lsa, u holda (9.1) tenglamaga to`liq differensilli tenglama deyiladi.

Ya`ni

(9.2)

Bundan

(9.3)

ga ega bo`lamiz.

Agar (9.1) tenglamaning biror yechimini (9.2) ga keltirib qo`ysak ga ega bo`lamiz.

Bundan . Bu esa, to`liq differensial tenglamaning umumiy integralidir.

Faraz qilaylik funksiyalari, mos ravishda ga nisbatan uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo`lsin.

bundan,

Bu tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to`liq differensiali bo`lishligini zaruriy shartidir.

Bu yetarli shart ekanligini isbot qilamiz. Haqiqatdan ham tenglik bajarilganda shunday funksiyani topish mumkinkim, bu funksiya tengliklarni qanoatlantiradi.

Faraz qilaylik, ning birinchisini qanoatlantirsin.

Agar bunda ni parametr deb olsak, uni

ko`rinishda yozish mumkin.

Buning har ikkala tomonini ga nisbatan differensiallaymiz. ni e`tiborga olsak, keyingi tenglikdan

ga ega bo`lamiz.

Bundan

Bu ko`rsatadikim bajarilganda ni chap tomoni to`liq differensial tenglama bo`ladi. to`liq differensialli tenglamaning umumiy integralini topish formulasi.

Misol:




Berilgan tenglama to`liq differensialli tenglamadir.

1)

2) 3)

4) 5)