Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Ta`rif

Bernulli tenglamasi. Bu tenglama

(11)

ko‘rinishda bo‘lib, unda α≠0 va α≠1 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy haqiqiy sonni ifodalaydi. α =0 yoki α=1 holda (11)yuqorida ko‘rib o‘tilgan (10) chiziqli differensial tenglamaga aylanadi. Bernulli tenglamasini integrallash uchun uni dastlab y^α ifodaga bo‘lamiz. Natijada (11) tenglama

ko‘rinishga keladi. Endi z= y^1–α belgilash kiritamiz. Bu holda, murakkab funksiya hosilasi formulasiga asosan, z′=(1–α) y^–αy′ bo‘lgani uchun oxirgi tenglama

(11^*)

ko‘rinishga, ya’ni chiziqli differensial tenglamaga keladi. Bu tenglamani yuqorida ko‘rsatilgan Bernulli usulida integrallab, z=φ(x,C) umumiy yechimni topamiz. Unda, yuqoridagi belgilashga asosan, (11) Bernulli tenglamasining umumiy integrali y^1–α= φ(x,C) tenglik bilan aniqlanadi.

Misol sifatida, ushbu

Bernulli tenglamasining umumiy integralini yuqorida ko‘rsatilgan usulda topamiz.

.

Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani integrallab,

natijani olamiz.

1-misol. _{tenglamaning umumiy integralini toping}.

Yechish. deymiz. U holda va tenglama yoki ko’rinishda bo’ladi. O’zgaruvchilarni ajratamiz:

yoki

belgilash orqali o’zgaruvchiga qaytib, umumiy integralni topamiz:

Bundan tashqari, ham yechim bo’ladi, bu yerda ni hosil qilamiz.