Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Ta`rif

Mustaqil yechish uchun misollar.

1. 
   ,
   
2. 
   
   

3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ; ;
   

6. 
   
   
7. 
   ; 8. ;
   

9. 
   10. ;
   

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi

I tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama. Bu tenglamada noma’lum funksiya y va uning hosilasi y′ birinchi darajada, ya’ni chiziqli ravishda qatnashib, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

уў+P(x)y=Q(x) (10)

Bundа P(x) vа Q(x) uzluksiz funksiyalar yoki o‘zgarmas sonlardir. Agar Q(x)≡0 bo‘lsa, (10) bir jinsli , aks holda bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglama deyiladi.

(10) chiziqli tеnglamani Bernulli usulida yechamiz. Buning uchun umumiy yеchimni y=u(x)v(x)=uv ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda u(x) va v(x) noma’lum funksiyalar bo‘lib, ularni topish uchun (10) tenglamada y o‘rniga uv ko‘paytmani qo‘yib, ushbu tenglamaga ega bo‘lamiz:



(*)

Oxirgi, ya’ni (*) tenglamadan, kvadtrat qavs ichidagi ifodani nolga tenglashtirib, v=v(x) noma’lum funksiya uchun

tеnglamaga ega bo‘lamiz. Bunda (**) berilgan bir jinsli bo‘lmagan (10) chiziqli tenglamaga mos keluvchi bir jinsli tenglama ekanligini ta’kidlab o‘tamiz. Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘lib, uni yuqorida ko‘rilgan usulda yechamiz:

Bu yerda C₁=1 deb, izlanayotgan noma’lum funksiyalardan biri

(10^*)

ekanligini ko‘ramiz. Bu natijani (*) tenglamaga qo‘yib va (**) tenglikdan foydalanib, ikkinchi u=u(x) noma’lum funksiyani topamiz:

. (10^**)

Bu yerdan berilgan (10) chiziqli differensial tenglamaning umumiy integrali

(10^***)

formula bilan topilishini ko‘ramiz.

Misol sifatida ushbu Koshi masalasini yechamiz:

Dastlab Koshi masalasidagi I tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini Bernulli usulida topamiz, ya’ni у=uЧv ko‘rinishda izlaymiz.

.

Kvadrat qavs ichidagi ifodani nolga tenglashtirib, v=v(x) funksiyani topamiz:

.

Demak, deb olish mumkin. Unda

.

Bu yerdan berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi

ko‘rinishda ekanligi kelib chiqadi. Undagi C o‘zgarmas sonini topish uchun Koshi masalasining boshlang‘ich shartiga murojaat etamiz:

.

Demak, berilgan Koshi masalasining izlangan yagona yechimi

funksiyadan iborat bo‘ladi.