6-Mavzu: Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli birjinsli differensial tenglamalar. Xarakteristik tenglama. Uning ildizlari yordamida bir jinsli differensialt englamaning umumiy yechimini qurish

6-Mavzu: Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli birjinsli differensial tenglamalar. Xarakteristik tenglama. Uning ildizlari yordamida bir jinsli differensialt englamaning umumiy yechimini qurish.

Tenglama o’zgarmas koeffisentli chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi.

(6.1) tenglamaning yechimini ko’rinishida qidirib, uni tenglamaga qo’yish orqali, (6.1) ning xarakteristiktenglamasi deb ataluvchi

Algebraik tenglamani hosil qilamiz.

(6.1) tenglamaning yechimi(6.3) xarakteristik tenglamaning yechimiga mos ravishda:

1) har bir oddiy haqiqiy k yechimga qo’shiluvchi mos keladi, bu holda umumiy yechim quyidagicha bo’ladi:

2) har bir karrali yechimga

ko’rinish mos keladi.

3) har bir oddiy kompleks yechimga esa

4) har bir m-karrali yechimga

qo’shiluvchi mos keladi.

1-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, va ildizlarga ega bo’lamiz, bularga esa va yechimlar mos keladi. Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lganidan, umumiy yechim (6.4) formulaga asosan quyidagicha bo’ladi:



2-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, va ildizlarga ega bo’lamiz. Bunga mos va funksiyalar chiziqli erkli bo’lganligidan. Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lganidan, umumiy yechim (6.4) formulaga asosan quyidagicha bo’ladi:



3-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratamiz. bu yerdan

. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha



4-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, bundan ikki karrali ildizga ega .Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha

.

5-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, kompleks ildizga ega bo’lamiz. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha



6-misol. tenglamaning va boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzib, , ildizlarga ega bo’lamiz. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha

Boshlang’ich shartlardan larga nisbatan

sistema hosil bo’ladi. Bu yerdan va ekanligini topamiz. Demak xususiy yechim ekanligini topamiz.