|
Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket chiqarib tashlashdan iborat: birinchidan, x 1 ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, keyin x 2 barcha tenglamalardan uchinchidan boshlab chiqariladi va hokazo, faqat noma'lum o'zgaruvchiga qadar. xn oxirgi tenglamada qoladi. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Gauss usulining oldinga siljishi tugallangandan so'ng, oxirgi tenglamadan x n topiladi, bu qiymat yordamida oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 hisoblanadi va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 topiladi. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. teskari Gauss usuli.
Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.
Biz buni taxmin qilamiz, chunki biz har doim tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali erisha olamiz. Biz ikkinchisidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan x 1 noma'lum o'zgaruvchini chiqarib tashlaymiz. Buning uchun sistemaning ikkinchi tenglamasiga birinchi ko‘paytirilgan tenglama qo‘shiladi, uchinchi ko‘paytirilgan tenglamaga birinchi ko‘paytirilgan tenglama qo‘shiladi va hokazo. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi
qayerda, a .
Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalab, hosil bo‘lgan ifodani barcha boshqa tenglamalarga almashtirsak, xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqariladi.
Keyinchalik, biz shunga o'xshash harakat qilamiz, lekin faqat rasmda ko'rsatilgan natijada olingan tizimning bir qismi bilan
Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ikkinchi ko‘paytirilgan tenglama qo‘shiladi, to‘rtinchi tenglamaga ikkinchi ko‘paytirilgan tenglama qo‘shiladi va hokazo, ikkinchi ko‘paytirilgan tenglama n- tenglamaga qo‘shiladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi
qayerda, a . Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.
Keyinchalik, rasmda belgilangan tizim qismiga o'xshash harakat qilib, noma'lum x 3 ni yo'q qilishga o'tamiz.
Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishini davom ettiramiz
Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskari yo'nalishini boshlaymiz: biz oxirgi tenglamadan xn ni quyidagicha hisoblaymiz, xn ning olingan qiymatidan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo. birinchi tenglama.
Misol.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish Gauss usuli.
Yechim.
Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma’lum x 1 o‘zgaruvchini chiqarib tashlaylik. Buning uchun ikkinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala qismiga birinchi tenglamaning mos keladigan qismlarini mos ravishda va ga ko'paytiramiz:
Endi uchinchi tenglamadan x 2 ni uning chap va o‘ng qismlariga ikkinchi tenglamaning chap va o‘ng qismlarini qo‘shib, quyidagiga ko‘paytiramiz:
Shu bilan Gauss usulining oldinga siljishi tugallandi, biz teskari yo'nalishni boshlaymiz.
Olingan tenglamalar tizimining oxirgi tenglamasidan x 3 ni topamiz:
Ikkinchi tenglamadan biz olamiz.
Birinchi tenglamadan biz qolgan noma'lum o'zgaruvchini topamiz va bu Gauss usulining teskari yo'nalishini yakunlaydi.
Javob:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.
Umumiy holatda p tizim tenglamalari soni n noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi:
Bunday SLAElar yechimga ega bo'lmasligi, bitta yechimga ega bo'lishi yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin. Ushbu bayonot asosiy matritsasi kvadrat va degenerativ bo'lgan tenglamalar tizimlariga ham tegishli.
Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishdan oldin uning mosligini aniqlash kerak. SLAE qachon mos keladi va qachon mos kelmaydi degan savolga javob beradi Kroneker-Kapelli teoremasi:
n ta noma’lumli (p n ga teng bo‘lishi mumkin) p tenglamalar sistemasi izchil bo‘lishi uchun tizimning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni Rank( A) = Darajali (T) .
Chiziqli tenglamalar tizimining mosligini aniqlash uchun Kroneker-Kapelli teoremasining qo'llanilishini misol tariqasida ko'rib chiqamiz.
Misol.
Chiziqli tenglamalar sistemasi borligini aniqlang yechimlar.
Yechim.
. Keling, voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanamiz. Ikkinchi darajali kichik noldan farq qiladi. Keling, uning atrofidagi uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik:
Barcha chegaradosh uchinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lganligi sababli, asosiy matritsaning darajasi ikkitadir.
O'z navbatida, kengaytirilgan matritsaning darajasi uchinchi tartibning minoridan boshlab, uchga teng
noldan farq qiladi.
Shunday qilib, Rang(A), shuning uchun Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra, chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimi mos kelmaydigan degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Javob:
Yechim tizimi yo'q.
Shunday qilib, biz Kronecker-Kapelli teoremasi yordamida tizimning nomuvofiqligini aniqlashni o'rgandik.
Ammo, agar uning muvofiqligi aniqlangan bo'lsa, SLAE yechimini qanday topish mumkin?
Buning uchun bizga matritsaning bazis minori tushunchasi va matritsaning ranklari haqidagi teorema kerak.
A matritsaning noldan tashqari eng yuqori tartib minori deyiladi Asosiy.
Minor bazisning ta’rifidan kelib chiqadiki, uning tartibi matritsaning darajasiga teng. Nolga teng bo'lmagan A matritsasi uchun bir nechta asosiy minorlar bo'lishi mumkin; har doim bitta asosiy minor mavjud.
Masalan, matritsani ko'rib chiqing .
Ushbu matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng, chunki bu matritsaning uchinchi qatori elementlari birinchi va ikkinchi qatorlarning mos keladigan elementlari yig'indisidir.
Quyidagi ikkinchi darajali kichiklar asosiy hisoblanadi, chunki ular nolga teng emas
Voyaga etmaganlar asosiy emas, chunki ular nolga teng.
Do'stlaringiz bilan baham: |
