Amaliy ish “Uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish”. Ishning maqsadlari

Uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish. Chiziqli algebraik tenglamalarni yechish tizimlari, yechish usullari, misollar Tenglamalarni Kramer usulida yechish algoritmi.
Yozilgan sana:28.11.2021
O'qish vaqti:45 daqiqa
Amaliy ish
“Uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish”.
Ishning maqsadlari:
SLEni yechish usullari haqida tushunchani kengaytirish va SLEni Kramor usuli bilan yechish algoritmini ishlab chiqish;
o'quvchilarning mantiqiy tafakkurini, muammoning oqilona echimini topish qobiliyatini rivojlantirish;
o'quvchilarni o'z qarorlarini qabul qilishda yozma matematik nutqning aniqligi va madaniyatiga o'rgatish.
Asosiy nazariy material.
Kramer usuli. Chiziqli tenglamalar tizimlari uchun qo'llanilishi.
Noma'lum N ta chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimi berilgan, ularning koeffitsientlari matritsaning elementlari, bo'sh a'zolari esa raqamlardir.
Koeffitsientlar yonidagi birinchi indeks koeffitsient qaysi tenglamada joylashganligini, ikkinchisi esa noma'lumlarning qaysi birida joylashganligini ko'rsatadi.
Agar matritsa determinanti nolga teng bo'lmasa
u holda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimi tizimning har bir tenglamasini to'g'ri tenglikka aylantiradigan tartibli raqamlar to'plamidir. Agar tizimning barcha tenglamalarining o'ng tomonlari nolga teng bo'lsa, u holda tenglamalar tizimi bir jinsli deyiladi. Agar ulardan ba'zilari nolga teng bo'lsa, bir xil emas  Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u mos deb ataladi, aks holda u mos kelmaydi. Agar sistemaning yechimi yagona bo'lsa, chiziqli tenglamalar tizimi aniq deyiladi. Agar mos keladigan tizimning yechimi yagona bo'lmasa, tenglamalar tizimi noaniq deb ataladi. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi ekvivalent (yoki ekvivalent) deb ataladi, agar bitta tizimning barcha yechimlari ikkinchisining echimi bo'lsa va aksincha. Ekvivalent (yoki ekvivalent) tizimlar ekvivalent transformatsiyalar yordamida olinadi.
SLAE ning ekvivalent transformatsiyalari
1) tenglamalarni qayta tartibga solish;
2) tenglamalarni nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish);
3) ba'zi tenglamaga ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladigan boshqa tenglamani qo'shish.
SLAE ning yechimini turli usullar bilan topish mumkin, masalan, Kramer formulalari (Kramer usuli).
Kramer teoremasi. Agar noma'lum chiziqli algebraik tenglamalar tizimining determinanti noldan farq qiladigan bo'lsa, u holda bu tizim Kramer formulalari bilan topiladigan yagona yechimga ega:  --chi ustunni almashtirish bilan tuzilgan aniqlovchilar, erkin a'zolar ustuni.
Agar , va kamida bittasi nolga teng bo'lsa, SLAE hech qanday yechimga ega emas. Agar  , keyin SLAE ko'p echimlarga ega.
Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimi berilgan. Tizimni Kramer usulida yeching
Yechim.
Noma’lumlar uchun koeffitsientlar matritsasining determinantini toping

dan boshlab, u holda berilgan tenglamalar sistemasi izchil va yagona yechimga ega. Determinantlarni hisoblaymiz:



Kramer formulalaridan foydalanib, biz noma'lumlarni topamiz
shunday  tizimning yagona yechimi.
To'rtta chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilgan. Tizimni Kramer usulida yeching.

Noma’lumlar uchun koeffitsientlar matritsasining determinantini topamiz. Buning uchun biz uni birinchi qatorga kengaytiramiz.

Determinantning komponentlarini toping:


Topilgan qiymatlarni determinantga almashtiring
Determinant, shuning uchun tenglamalar tizimi izchil va yagona yechimga ega. Determinantlarni Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:
Baholash mezonlari:
Ish "3" ball bilan baholanadi, agar: tizimlardan biri mustaqil ravishda to'liq va to'g'ri hal qilingan bo'lsa.
Ish "4" ball bilan baholanadi, agar: har qanday ikkita tizim mustaqil ravishda to'liq va to'g'ri hal qilingan bo'lsa.
Ish "5" ga baholanadi, agar: uchta tizim mustaqil ravishda to'liq va to'g'ri hal qilingan bo'lsa.
3.3-bo'limda ikkinchi tartibli tizim bilan o'zgaruvchan chastotali signallarni kuzatish cheklovlari ko'rsatilgan. Endi tizimga ikkinchi integratorni kiritish orqali ushbu cheklovlarning bir qismini yumshatish imkoniyatini ko'rib chiqamiz. Ma'lum bo'lishicha, uchinchi darajali tizim uchun suratga olish jarayoni ikkinchi darajali tizimga qaraganda kamroq barqaror, ammo ikkinchi integrator yordamida dastlab allaqachon qo'lga kiritilgan tizim uchun kuzatuv diapazonini kengaytirish mumkin. moment. Filtrning uzatish funksiyasi endi shaklga ega
va (3.1) dan quyidagicha:

O'zgartirishdan keyin bu ifoda shaklga tushiriladi

Belgilanishni normallashtirish va kiritish orqali biz olamiz
Odatdagi faza tekisligi usuli uchinchi tartibli differentsial tenglamalar uchun qo'llanilmaydi, chunki bu holda uchta o'zgaruvchiga mos keladigan uchta boshlang'ich shart mavjud: faza, chastota va chastotaning o'zgarish tezligi (mexanik tizimlarda - siljish, tezlik va tezlanish. ). Asosan, uchinchi tartibli tenglama bilan aniqlangan traektoriyalar uch o'lchovli fazoda ifodalanishi mumkin edi. Ushbu traektoriyalarni J uchun boshlang'ich shartlar to'plamini tekislikka proyeksiya qilishga har qanday urinish shu qadar murakkab diagrammaga olib keladiki, undan umumiy xulosalar chiqarish mumkin emas edi.
Boshqa tomondan, agar biz bir boshlang'ich shartlar to'plami bilan cheklanib qolsak, u holda biz traektoriyaning tekislikka proyeksiyasini olishimiz mumkin. Quyidagi dastlabki shartlar to'plami alohida ahamiyatga ega: Boshqacha qilib aytganda, chastota mos yozuvlar rampa boshlaganida chastota va faza xatolar nolga teng bo'lishi uchun tizim dastlab qulflanadi.
Ikkinchi integratorni joriy qilish uchun analog hisoblash qurilmasining tuzilishini o'zgartirish oson.
Guruch. 3.19. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosida traektoriyalarning proyeksiyalari
(qarang skanerlash)
Shaklda. 3.19 tekislikka proyeksiya qilingan bir qator traektoriyalarni ko'rsatadi. Ko'rib chiqilgan barcha holatlarda, shuning uchun. Gipotetik uch o'lchovli "fazali fazoda" traektoriyalar nuqtadan boshlanadi va o'qda tugaydi.
Shaklda. 3.19, a xuddi shu boshlang'ich sharoitda ikkinchi darajali tizimning harakatini ko'rsatadi. Fazaning yakuniy yoki barqaror holati § 3.3 da ko'rsatilganidek, bir xil. Ikkinchi integratorning kiritilishi barqaror holatdagi faza xatosining nolga kamayishiga olib keladi, qanchalik tez bo'lsa, shunchalik ko'p. Ko'payganda, eng katta faza xatosi ham kamayadi, ammo tizimning zaiflashishiga olib keladi. ildiz o'rtacha kvadrat faza xatosining ortishiga (3.19-rasmga qarang, b - 3.19, g). Nihoyat, da, tizim beqaror bo'ladi.
Tizimning tartibini oshirish orqali olingan yaxshilanish rasmda ko'rsatilgan. 3.20. Bu erda, avvalgidek, lekin. § 3.3 da, bu yoki undan ko'p chastotali rampa tezligida tizim kuzata olmasligi ko'rsatilgan. Guruch. 3.20, lekin bu holatni tasdiqlaydi. Boshqa tomondan, ikkinchi integratorning eng kam ta'sir darajasida ham nolga teng barqaror holat fazasi xatosi olinadi. Fazalar nomuvofiqligining eng katta lahzali qiymati koeffitsient ortishi bilan kamayadi, lekin da , tizim yana beqaror bo'ladi.
Shunga o'xshash xususiyatlar rasmda ko'rsatilgan. 3.21-3.23, bundan mustasno, nisbat oshgani sayin tizimni ushlab turish holatida ushlab turish uchun koeffitsientning tobora ortib borayotgan qiymatlari talab qilinadi.Oxir-oqibat, nisbat 2 ga yaqinlashganda yoki qachon zarur bo'lsa, taxminan 1/2 bo'ladi. Ammo rasmdan. 3.19, g - 3.23, h bu qiymatda tizim beqaror ekanligi aniq. Koeffitsient qiymatlari diapazoni, nisbatga qarab, tizim qo'lga olingan holatda qoladi, rasmda ko'rsatilgan. 3.24-3.26 qiymatlari mos ravishda. Koeffitsientning ruxsat etilgan qiymatlari maydoni soyalangan.Ko'rinib turibdiki, chastotaning chiziqli o'zgarishi bilan uchinchi tartibli tizimning joriy etilishi kuzatuv olinadigan diapazonni kengaytirishga imkon berdi, taxminan
Guruch. 3.20. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosida traektoriyalarning proyeksiyalari
(qarang skanerlash)
Guruch. 3.21. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosida traektoriyalarning proyeksiyalari
(qarang skanerlash)
Guruch. 3.22. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosida traektoriyalarning proyeksiyalari
(qarang skanerlash)
Guruch. 3.23. Uchinchi tartibli halqa uchun faza fazosida traektoriyalarning proyeksiyalari
(qarang skanerlash)

Guruch. 3.24. Uchinchi tartibli tizimning bosib olish holati

Guruch. 3.25. Uchinchi tartibli tizimning bosib olish holati

Guruch. 3.26. Uchinchi tartibli tizimning bosib olish holati
da ikkinchi tartibli tizimga nisbatan ikki barobar ko'p va undan ham kichikroq qiymatlarda
Koeffitsient b o'zgarishining tebranish xususiyatini uning taxminan 1/2 yoki undan ko'p qiymatlarida nazariy jihatdan tushuntirish mumkin. Differentsial tenglama (3.41), biz olamiz

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echish, shubhasiz, chiziqli algebra kursining eng muhim mavzusidir. Matematikaning barcha bo'limlaridan juda ko'p muammolar chiziqli tenglamalar tizimini echishga qisqartiriladi. Ushbu omillar ushbu maqolani yaratish sababini tushuntiradi. Maqolaning materiali tanlangan va tuzilgan, shunda siz uning yordami bilan qila olasiz

• 
  chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning optimal usulini tanlash;
  
• 
  tanlangan usul nazariyasini o'rganish,
  
• 
  tipik misollar va masalalarning yechimlarini batafsil ko'rib chiqib, chiziqli tenglamalar tizimingizni yeching.