|
Matritsa darajalari teoremasi.
Agar p dan n gacha bo'lgan matritsaning darajasi r bo'lsa, u holda matritsaning tanlangan minor asosini tashkil etmaydigan barcha satrlari (va ustunlari) elementlari satrlarning (va ustunlarning) mos keladigan elementlari bo'yicha chiziqli ravishda ifodalanadi. ) minorning asosini tashkil etuvchi.
Matritsa darajalari teoremasi bizga nimani beradi?
Agar Kroneker-Kapelli teoremasi bo'yicha biz tizimning mosligini aniqlagan bo'lsak, u holda tizimning asosiy matritsasining istalgan asosiy minorini tanlaymiz (uning tartibi r ga teng) va tizimdan mos kelmaydigan barcha tenglamalarni chiqarib tashlaymiz. tanlangan asosiy minorni tashkil qiladi. Shu tarzda olingan SLAE asl tenglamaga ekvivalent bo'ladi, chunki bekor qilingan tenglamalar hali ham ortiqcha (matritsa darajasi teoremasiga ko'ra, ular qolgan tenglamalarning chiziqli birikmasidir).
Natijada, tizimning ortiqcha tenglamalarini bekor qilgandan so'ng, ikkita holat mumkin.
Agar natijaviy tizimdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u aniq bo'ladi va yagona yechimni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan topish mumkin.
Misol.
.
Yechim.
Tizimning asosiy matritsasining darajasi ikkiga teng, chunki ikkinchi tartibdagi minor noldan farq qiladi. Kengaytirilgan matritsa darajasi ham ikkiga teng, chunki uchinchi tartibdagi yagona minor nolga teng
va yuqorida ko'rib chiqilgan ikkinchi tartibli minor noldan farq qiladi. Kroneker-Kapelli teoremasiga asoslanib, Rank(A)=Rank(T)=2 bo'lgani uchun chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining mosligini ta'kidlash mumkin.
Kichik asos sifatida biz olamiz . U birinchi va ikkinchi tenglamalarning koeffitsientlari bilan hosil bo'ladi:
Tizimning uchinchi tenglamasi bazis minorini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun biz uni matritsa darajalari teoremasi asosida tizimdan chiqaramiz:
Shunday qilib, chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini oldik. Keling, buni Kramer usuli bilan hal qilaylik:
Javob:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Agar hosil bo'lgan SLAEdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda asosiy minorni tashkil etuvchi hadlarni tenglamalarning chap qismlarida qoldiramiz va qolgan hadlarni tenglamalarning o'ng qismlariga o'tkazamiz. qarama-qarshi belgili tizim.
Tenglamalarning chap tomonida qolgan noma'lum o'zgaruvchilar (ularning r tasi bor) deyiladi. asosiy.
O'ng tomonda tugaydigan noma'lum o'zgaruvchilar (ulardan n - r bor) deyiladi. ozod.
Endi biz faraz qilamizki, erkin noma'lum o'zgaruvchilar ixtiyoriy qiymatlarni olishlari mumkin, r asosiy noma'lum o'zgaruvchilar esa yagona usulda erkin noma'lum o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi. Ularning ifodasini olingan SLAE ni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan yechish orqali topish mumkin.
Keling, bir misol keltiraylik.
Misol.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish .
Yechim.
Tizimning bosh matritsasining darajasini toping chegaradosh voyaga etmaganlar usuli bilan. 1 1 = 1 ni nolga teng bo'lmagan birinchi darajali minor sifatida olaylik. Keling, bu kichikni o'rab turgan nolga teng bo'lmagan ikkinchi darajali kichikni qidirishni boshlaylik:
Shunday qilib, biz ikkinchi tartibning nolga teng bo'lmagan minorini topdik. Uchinchi tartibdagi nol bo'lmagan chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik:
Shunday qilib, asosiy matritsaning darajasi uchtadir. Kengaytirilgan matritsaning darajasi ham uchtaga teng, ya'ni tizim izchil.
Topilgan uchinchi tartibning nolga teng bo'lmagan minori asosiy sifatida qabul qilinadi.
Aniqlik uchun biz minorning asosini tashkil etuvchi elementlarni ko'rsatamiz:
Biz asosiy minorda ishtirok etuvchi atamalarni tizim tenglamalarining chap tomoniga qoldiramiz va qolganlarini qarama-qarshi belgilar bilan o'ng tomonlarga o'tkazamiz:
Erkin noma'lum o'zgaruvchilar x 2 va x 5 ixtiyoriy qiymatlarni beramiz, ya'ni olamiz , bu yerda ixtiyoriy sonlar. Bunday holda, SLAE shaklni oladi
Olingan chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini Kramer usuli bilan yechamiz:
Demak, .
Javobda bepul noma'lum o'zgaruvchilarni ko'rsatishni unutmang.
Javob:
Ixtiyoriy raqamlar qayerda.
Do'stlaringiz bilan baham: |
