|
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish orqali noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deb ataladi, bu tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradi. Noma'lum o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlari uchun matritsa tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi.
Agar tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u deyiladi qo'shma.
Agar tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, u deyiladi mos kelmaydigan.
Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq; agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, unda - noaniq.
Agar tizimning barcha tenglamalarining erkin shartlari nolga teng bo'lsa , keyin tizim chaqiriladi bir hil, aks holda - heterojen.
Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.
Agar tizim tenglamalari soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa va uning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, biz bunday SLAElarni chaqiramiz. boshlang'ich. Bunday tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega va bir jinsli sistema holatida barcha noma’lum o‘zgaruvchilar nolga teng.
Biz o'rta maktabda bunday SLAEni o'rganishni boshladik. Ularni yechishda biz bitta tenglamani oldik, bitta noma’lum o‘zgaruvchini boshqalar bilan ifodaladik va uni qolgan tenglamalarga almashtirdik, so‘ngra keyingi tenglamani oldik, keyingi noma’lum o‘zgaruvchini ifodaladik va uni boshqa tenglamalarga almashtirdik va hokazo. Yoki ular qo'shish usulidan foydalanganlar, ya'ni ba'zi noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish uchun ikki yoki undan ortiq tenglamalarni qo'shganlar. Biz bu usullarga batafsil toʻxtalib oʻtirmaymiz, chunki ular mohiyatan Gauss usulining modifikatsiyalaridir.
Chiziqli tenglamalarning elementar tizimlarini yechishning asosiy usullari Kramer usuli, matritsa usuli va Gauss usulidir. Keling, ularni saralab olaylik.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish.
Keling, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishimiz kerak
bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning asosiy matritsasi determinanti noldan farq qiladi, ya'ni.
Sistemaning bosh matritsasining determinanti bo'lsin, va almashtirish orqali A dan olinadigan matritsalarning determinantlaridir 1, 2, …, n bepul a'zolar ustuniga mos ravishda ustun:
Bunday belgi bilan noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usulining formulalari bo'yicha hisoblanadi . Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi Kramer usulida shunday topiladi.
Misol.
Kramer usuli .
Yechim.
Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega . Uning determinantini hisoblang (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):
Tizimning asosiy matritsasining determinanti noldan farqli bo'lganligi sababli, tizim Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega.
Kerakli determinantlarni tuzing va hisoblang (aniqlovchi A matritsadagi birinchi ustunni boʻsh aʼzolar ustuniga, determinant — ikkinchi ustunni boʻsh aʼzolar ustuniga, A matritsaning uchinchi ustunini boʻsh aʼzolar ustuniga almashtirish orqali olinadi. ):
Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish :
Javob:
Kramer usulining asosiy kamchiligi (agar uni kamchilik deb atash mumkin bo'lsa) tizim tenglamalari soni uchtadan ko'p bo'lganda determinantlarni hisoblashning murakkabligidir.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini matritsa usulida yechish (teskari matritsa yordamida).
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi matritsa ko'rinishida berilgan bo'lsin, bunda A matritsasi n dan n o'lchamga ega va uning determinanti nolga teng emas.
Chunki, u holda A matritsa teskari bo'ladi, ya'ni teskari matritsa mavjud. Agar tenglikning ikkala tomonini chap tomonga ko'paytirsak, u holda noma'lum o'zgaruvchilarning ustun matritsasi topish formulasini olamiz. Shunday qilib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimining matritsa usulida yechimini oldik.
Misol.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish matritsa usuli.
Yechim.
Tenglamalar tizimini matritsa shaklida qayta yozamiz:
Chunki
u holda SLAE matritsa usuli bilan yechilishi mumkin. Teskari matritsadan foydalanib, bu sistemaning yechimini quyidagicha topish mumkin .
Keling, A matritsasi elementlarining algebraik to'ldiruvchilari matritsasidan foydalangan holda teskari matritsa quramiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):
Hisoblash qoladi - teskari matritsani ko'paytirish orqali noma'lum o'zgaruvchilar matritsasi erkin a'zolarning matritsa ustunida (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):
Javob:
yoki boshqa belgida x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Matritsa usulida chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining yechimlarini topishning asosiy muammosi teskari matritsani, ayniqsa uchinchidan yuqori tartibli kvadrat matritsalarni topishning murakkabligidir.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usulida yechish.
Faraz qilaylik, n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega n ta chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishimiz kerak.
asosiy matritsasining determinanti noldan farq qiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
