Amaliy ish “Uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish”. Ishning maqsadlari

Asosiy qarorlar tizimi n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan p chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasi bu sistemaning (n – r) chiziqli mustaqil yechimlari to‘plami bo‘lib, bu yerda r – sistemaning bosh matritsasining bazis minorining tartibi.
Agar bir hil SLAE ning chiziqli mustaqil yechimlarini X (1) , X (2) , …, X (nr) (X (1) , X (2) , …, X (nr) deb belgilasak, n 1 ustunli matritsalardir. ), u holda bu bir jinsli sistemaning umumiy yechimi ixtiyoriy doimiy koeffitsientlari S 1 , S 2 , …, S (nr) boʻlgan asosiy yechimlar sistemasi vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, yaʼni .
Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar tizimining umumiy yechimi (oroslau) atamasi nimani anglatadi?
Ma'nosi oddiy: formula asl SLAE ning barcha mumkin bo'lgan echimlarini belgilaydi, boshqacha qilib aytganda, C 1 , C 2 , ..., C (nr) ixtiyoriy konstantalarining har qanday qiymatlari to'plamini oladi, biz formula bo'yicha. original bir hil SLAE yechimlaridan birini oladi.
Shunday qilib, agar biz fundamental yechimlar tizimini topsak, u holda bu bir hil SLAE ning barcha yechimlarini quyidagicha belgilashimiz mumkin.
Keling, bir hil SLAE uchun asosiy yechimlar tizimini qurish jarayonini ko'rsatamiz.
Biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining asosiy minorini tanlaymiz, boshqa barcha tenglamalarni tizimdan chiqaramiz va qarama-qarshi belgilarga ega bo'lgan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga erkin noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan barcha a'zolarni o'tkazamiz. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 1,0,0,...,0 qiymatlarini beramiz va natijada olingan chiziqli tenglamalarning elementar tizimini istalgan usulda, masalan, Kramer usulida yechish orqali asosiy noma'lumlarni hisoblaymiz. Shunday qilib, X (1) olinadi - asosiy tizimning birinchi yechimi. Agar erkin noma’lumlarga 0,1,0,0,…,0 qiymatlarini berib, asosiy noma’lumlarni hisoblasak, X (2) ni olamiz. Va boshqalar. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 0,0,…,0,1 qiymatlarini berib, asosiy noma'lumlarni hisoblasak, X (n-r) ni olamiz. Bir jinsli SLAE ning asosiy yechimlar tizimi shunday tuziladi va uning umumiy yechimi ko'rinishda yozilishi mumkin.
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari uchun umumiy yechim quyidagicha ifodalanadi
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasining asosiy yechimlar tizimini va umumiy yechimini toping.  .
Yechim.
Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlarining asosiy matritsasining darajasi har doim kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng. Bosh matritsaning darajasini voyaga etmaganlarni cheklash usuli bilan topamiz. Birinchi tartibdagi nolga teng bo'lmagan minor sifatida biz tizimning asosiy matritsasining a 1 1 = 9 elementini olamiz. Ikkinchi tartibning chegaradosh nolga teng bo‘lmagan minorini toping:

Noldan farqli ikkinchi tartibli minor topiladi. Keling, nolga teng bo'lmaganni qidirish uchun u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik:

Uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsaning darajasi ikkitadir. Keling, asosiy minorni olaylik. Aniqlik uchun tizimni tashkil etuvchi elementlarni ta'kidlaymiz:

Asl SLAE ning uchinchi tenglamasi asosiy minorni shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun uni chiqarib tashlash mumkin:


Biz asosiy noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni tenglamalarning o'ng tomoniga qoldiramiz va erkin noma'lumli shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz:
Chiziqli tenglamalarning asl bir jinsli sistemasi yechimlarining fundamental tizimini tuzamiz. Ushbu SLAE ning asosiy yechimlar tizimi ikkita yechimdan iborat, chunki dastlabki SLAE to'rtta noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning asosiy minorining tartibi ikkitadir. X (1) ni topish uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz.
.
Keling, buni Kramer usuli bilan hal qilaylik:

Shunday qilib, .
Endi X (2) ni quramiz. Buning uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1 qiymatlarini beramiz, keyin chiziqli tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz.
.
Yana Kramer usulidan foydalanamiz:

olamiz.
Shunday qilib, biz asosiy yechimlar tizimining ikkita vektorini oldik va endi chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimining umumiy yechimini yozishimiz mumkin:

, bu erda C 1 va C 2 ixtiyoriy sonlardir., nolga teng. Shuningdek, biz minorni asosiy tenglama sifatida qabul qilamiz, uchinchi tenglamani tizimdan chiqaramiz va erkin noma'lum shartlarni tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazamiz:


Topish uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 \u003d 0 va x 4 \u003d 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimi shaklni oladi.  , shundan biz Kramer usuli yordamida asosiy noma'lum o'zgaruvchilarni topamiz:

Bizda ... bor  , shuning uchun,

bu erda C 1 va C 2 ixtiyoriy sonlardir.
Shuni ta'kidlash kerakki, chiziqli algebraik tenglamalarning noaniq bir jinsli tizimining echimlari chiziqli fazo
Yechim.
To'rtburchaklar dekart koordinatalar tizimidagi ellipsoidning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega.  . Bizning vazifamiz a, b va c parametrlarini aniqlashdir. Ellipsoid A, B va C nuqtalardan o'tganligi sababli, ularning koordinatalarini ellipsoidning kanonik tenglamasiga almashtirganda, u bir xillikka aylanishi kerak. Shunday qilib, biz uchta tenglama tizimini olamiz:

Belgilamoq  , keyin sistema chiziqli algebraik tenglamalar tizimiga aylanadi  .
Tizimning asosiy matritsasining determinantini hisoblaymiz:

U nolga teng bo'lmagani uchun biz yechimni Kramer usuli bilan topishimiz mumkin:
). Shubhasiz, x = 0 va x = 1 bu ko'phadning ildizlari hisoblanadi. bo'linishdan olingan ko'rsatkich  ustida  bir . Shunday qilib, bizda parchalanish bor va asl ifoda shaklni oladi  .
Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanamiz.


Numeratorlarning tegishli koeffitsientlarini tenglashtirib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimiga kelamiz.  . Uning yechimi bizga kerakli A, B, C va D koeffitsientlarini beradi.
Biz tizimni Gauss usuli yordamida hal qilamiz:


Gauss usulining teskari yo'nalishida biz D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 ni topamiz.
olamiz

Javob:
.
Ushbu maqolada nima sodir bo'layotganini chuqurroq tushunish uchun siz o'qishingiz mumkin.
Uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimini ko'rib chiqaylik
Bu yerda x(t), y(t), z(t) - (a, b) oraliqda kerakli funksiyalar, a ij (i, j =1, 2, 3) - haqiqiy sonlar.
Asl tizimni matritsa shaklida yozamiz
,
qayerda

Biz asl tizimning yechimini shaklda izlaymiz
,
qayerda  , C 1, C 2, C 3 ixtiyoriy konstantalardir.
Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun xarakteristik tenglama deb ataladigan narsani echish kerak

Bu tenglama uchinchi tartibli algebraik tenglama bo‘lgani uchun uning 3 ta ildizi bor. Bunday holda, quyidagi holatlar mumkin:
1. Ildizlar (o'ziga xos qiymatlar) haqiqiy va aniq.
2. Ildizlar (o'z qiymatlari) orasida murakkab konjugatlar bor, keling
- haqiqiy ildiz
=
3. Ildizlar (xususiy qiymatlar) haqiqiydir. Ildizlardan biri ko'p.
Ushbu holatlarning har birida qanday harakat qilish kerakligini aniqlash uchun bizga kerak:
Teorema 1.
A matritsaning juft-juft alohida xos qiymatlari bo'lsin va ularga mos keladigan xos vektorlar bo'lsin. Keyin

asl tizimga yechimlarning asosiy tizimini shakllantirish.

Izoh .
Keling - A matritsaning haqiqiy xos qiymati (xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizi), - mos keladigan xos vektor.
= - A matritsasining murakkab xos qiymatlari, - mos keladigan - xos vektor. Keyin

(Qayta - haqiqiy qism, Im - xayoliy)

asl tizimga yechimlarning asosiy tizimini shakllantirish. (ya'ni va = birgalikda ko'rib chiqiladi)
Teorema 3.
Ko‘plikning xarakteristik tenglamasining ildizi bo‘lsin 2. U holda asl sistemaning 2 ta chiziqli mustaqil ko‘rinishdagi yechimlari bo‘ladi.
,
bu yerda , - vektor konstantalari. Agar ko'paytmalar 3 bo'lsa, u holda shaklning 3 ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud
.
Vektorlar (*) va (**) yechimlarni asl sistemaga almashtirish orqali topiladi.
(*) va (**) ko'rinishdagi echimlarni topish usulini yaxshiroq tushunish uchun quyida muhokama qilinadigan odatiy misollarga qarang.
Endi yuqoridagi holatlarning har birini batafsil ko'rib chiqamiz.
1. Xarakteristik tenglamaning har xil haqiqiy ildizlari holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.
Berilgan tizim
1) Xarakteristik tenglamani tuzing

haqiqiy va aniq xos qiymatlar (bu tenglamaning ildizlari).

2) Biz qayerda quramiz

3) Biz qayerda quramiz
- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. - har qanday tizimli yechim

4) Biz qayerda quramiz
- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. - har qanday tizimli yechim

5)

qarorlarning asosiy tizimini tashkil etadi. Keyinchalik, asl tizimning umumiy yechimini shaklda yozamiz
,
bu yerda C 1 , C 2 , C 3 ixtiyoriy konstantalar,
,
yoki koordinatali shaklda

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol




2) Toping


3) Toping


4) Vektor funktsiyalari



yoki koordinata yozuvida

2-misol

1) Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

2) Toping


3) Toping


4) Toping


5) Vektor funktsiyalari

asosiy tizimni tashkil qiladi. Umumiy yechim shaklga ega

yoki koordinata yozuvida

2. Xarakteristik tenglamaning murakkab konjugat ildizlari holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.

- haqiqiy ildiz

2) Biz qayerda quramiz

3) Bino

- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni. tizimni qondiradi

Bu erda Re haqiqiy qismdir
Im - xayoliy qism
4) yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi. Keyinchalik, asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:
, qayerda
S 1 , S 2 , S 3 ixtiyoriy konstantalardir.
1-misol

1) Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz

2) Bino


3) Bino
, qayerda

Birinchi tenglamani 2 ga kamaytiramiz. Keyin ikkinchi tenglamaga 2i ga ko'paytirilgan birinchi tenglamani qo'shamiz va uchinchi tenglamadan 2 ga ko'paytirilgan qalamni ayiramiz.

Keyinchalik

Demak,

4) - yechimlarning fundamental tizimi. Asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:

2-misol

1) Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz


2) Bino

(ya'ni, va birgalikda ko'rib chiqiladi), qaerda

Ikkinchi tenglamani (1-i) ga ko'paytiring va 2 ga kamaytiring.


Demak,

3)
Asl tizimning umumiy yechimi

yoki

2. Xarakteristik tenglamaning ko'p ildizli holatida uchinchi tartibli differensial tenglamalarning bir jinsli tizimlarini yechish algoritmi.
Xarakteristik tenglamani tuzing va yeching

Ikki holat mumkin:

a) 1) holatni ko'rib chiqing, bu erda

- ga mos keladigan A matritsaning xos vektori, ya'ni tizimni qanoatlantiradi.

2) 3-teoremaga murojaat qilaylik, shundan kelib chiqadiki, shaklning ikkita chiziqli mustaqil yechimlari mavjud.
,
bu yerda , doimiy vektorlar. Keling, ularni olaylik.
3) - yechimlarning fundamental tizimi. Keyinchalik, asl tizimning umumiy yechimini yozamiz:
b holatini ko'rib chiqing):
1) 3-teoremaga murojaat qilaylik, shundan kelib chiqadiki, shaklning uchta chiziqli mustaqil yechimlari mavjud.
,
bu yerda , , doimiy vektorlar. Keling, ularni olaylik.
2) - yechimlarning fundamental tizimi. Keyinchalik, biz asl tizimning umumiy yechimini yozamiz.
(*) shaklidagi yechimlarni qanday topishni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta tipik misollarni ko'rib chiqing.
1-misol

Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

Bizda a) holat bor
1) Bino
, qayerda

Ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayiring:
? Uchinchi qator ikkinchisiga o'xshaydi, biz uni kesib tashlaymiz. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayiring:

2) = 1 (ko'plik 2)
T.3 ga ko'ra, bu ildiz shaklning ikkita chiziqli mustaqil echimiga mos kelishi kerak .
Keling, barcha chiziqli mustaqil echimlarni topishga harakat qilaylik, ya'ni. shakldagi yechimlar
.
Bunday vektor, agar va faqat =1 ga mos keladigan xos vektor bo'lsa, yechim bo'ladi, ya'ni.
, yoki
, ikkinchi va uchinchi qatorlar birinchisiga o'xshash, biz ularni tashqariga tashlaymiz.

Tizim bitta tenglamaga qisqartirildi. Shuning uchun ikkita erkin noma'lum mavjud, masalan, va. Avval ularga 1, 0 qiymatlarini beramiz; keyin 0, 1 qiymatlari. Biz quyidagi echimlarni olamiz:
.
Demak,  .
3) - yechimlarning fundamental tizimi. Asl tizimning umumiy yechimini yozish qoladi:
. .. Shunday qilib, ushbu tizimga X 3 o'rnini bosish shaklining faqat bitta yechimi mavjud: Uchinchi qatorni kesib tashlang (u ikkinchisiga o'xshash). Tizim har qanday s uchun izchil (yechimga ega). c=1 bo'lsin. 
yoki