А. А. Самарский, А. В. Гулин

Аг/2.1 
— i f С-1
 + 
2 ft-'/,
 
+
fi) 
~ ~
 .
4
Тогда согласно (20) будем иметь
А-//,/
2 . 1
 
(21)
Из соотношений (20), (21) можно исключить константу 
ct
и по­
лучить оценку погрешности, которая содержит лишь известные ве­
личины / м, 
Ih/2 i:
I h.i)
i
IГ
lh/i,i
— — 
(li
' 
8
I h.i) ^
{Ih/2,i 
hi
, .
Разумеется, метод Рунге можно применять и для оценки по­
грешности других квадратурных формул. Пусть какая-то квадра­
турная формула имеет на частичном отрезке порядок точности 
пг,
т. е. A— 
Тогда
1 
т
 
~ ( h i \m
‘ С
'/1/2,1—
Ci\ 
I
168

---

откуда получим
(23)
(2 2 )
г 
^
h , t
Возможность апостериорно оценивать погрешность позволяет 
вычислять интеграл (1) с заданной точностью е > 0 путем автома­
тического выбора шага интегрирования 
h{.
Пусть используется со­
ставная квадратурная формула
N
I ~ I h =
^
i=i
гд
е Ih,i
— квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на 
каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратур­
ная формула (например, формула трапеций, Симпсона и др.). Про­
ведем на каждом частичном отрезке [ х ^ , 
xt]
все вычисления дваж­
ды, один раз — с шагом 
h{
и второй раз — с шагом 0,5/i; и оценим 
погрешность по правилу Рунге (23).
Если для заданного е > 0 будут выполняться неравенства
I 
U - h
/2,1
Ih/2.i Ih,i
I
2m
—
1
eh,
i =
1, 2,
N,
(24)
то получим