А. А. Самарский, А. В. Гулин

Существование и единственность квадратурных формул наи­
высшей алгебраической степени точности. 
Представим искомый 
многочлен (3) в виде
(О (х) =Я0 + Й1Х+. . . + йп-
1
-JC”' 1 + х™. 
(7)
Тогда условия ортогональности (6) примут вид 
ь
р (х) (я0 +
ахх
 + . . . + Qrt-iX”- 1 + Xя) 
xadx
 = 0 ,
(8)
а
а = 0, 1........
п
—1.
Условия (8) представляют собой систему линейных алгебраиче­
ских уравнений относительно коэффициентов а0) я,, 
. . . ,
я„-,. По­
кажем, что соответствующая однородная система уравнений 
ь
$ Р М (а„ + х + . . . +
ап-1хп~1) ха dx
= 0, 
(9)
а
a = 0, 1, .. ., 
п
—1,
имеет единственное решение а0 = а, = .. , = а п_1 = 0. Для этого умно­
жим уравнение (9) на яа и просуммируем по всем сс. Тогда получим
rt-1 
b
а=о 
а
2
U Р (*) S
akxk
 
j Р w
&=0
П
-
1
Л — 1
2 2
a^ xkxfX
а,—о к
=о
dx =
0,
т. 
е.
ь
р(*)
Л - 1
2
а‘х‘
2
dx =
0.
(
10
)
Если хотя бы один из коэффициентов я,, 
1 = 0,
1.........
п
—1, от­
личен от нуля, то функция
@н
может обратиться в нуль на [я, 
Ь]
лишь в конечном числе точек. 
Отсюда и из условия р ( х ) > 0 следует, что равенство (10) возможно 
лишь в случае
Яц= —. . . — я
п—i =
0.
Тем самым неоднородная система (8) имеет единственное решение. 
Следовательно, существует единственный многочлен со(х) степени 
п
со старшим коэффициентом 1, ортогональный с весом р ( х ) > 0